命題とその対偶、真偽について

高校数学のある命題についてです。

a,b が整数であるとき、以下の命題があります。

・命題：
　　a*b が奇数のとき、aまたはbのどちらか一つが奇数である。

このとき、命題について対偶を考えます。
まず、「a*bが奇数である」　の否定は　「a*bが偶数である」
また、「aまたはbのどちらか一つが奇数」の否定は
「aが奇数　または　bが奇数」の否定なので、ド・モルガンの法則より
「aが偶数　かつ　bが偶数」、つまり「a,bの両方が偶数」
となり、本命題についての対偶は以下の様になると考えました。

・対偶：
　　a,bの両方が偶数のとき、a*bは偶数となる。

この命題の対偶は真となりますが、命題は疑となると思います。


一般的に命題とその待遇の真偽は一致するはずなので、
何かが間違えているのではないかと思っています。

(1) 命題は真?
(2) 対偶のとり方が間違えている？
(3) 対偶は真ではない？
(4) 命題と対偶の真偽は一致しない？

大変困っております。どなたか教えて下さい。お願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/08/18 14:54

はい, 「どちらか一つ」が「少なくとも一方」という意味なら, 元の命題

a*b が奇数のとき、aまたはbのどちらか一つが奇数である。
は真です.

ただ, #1 でも書いておいたけど「どちらか一つ」という書き方では「どちらか 1つだけ」つまり「一方が奇数で他方は偶数」と解釈しても仕方ないと思います. 端的に言えば書き方が悪い.

この回答へのお礼

納得しました。
大変ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/18 15:10

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/08/18 13:32

元の命題における「どちらか一つ」というのは「正確に 1つだけ」という意味ですか? もしそうなら (2). 「少なくとも 1つ」の意

味なら (1).

この回答への補足

少なくとも1つ、ですね。
けれど、aが奇数でbが偶数の場合、
abは偶数になるので、
命題は疑になるのではないでしょうか?

補足日時：2011/08/18 13:39

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。補足で命題は疑になるのでは？
と申しましたが、
命題は真ですよね。
abが奇数ならばa,bの少なくとも1つは奇数。
命題の「abが奇数」は「a,bの少なくとも1つは奇数」の十分条件ですね。

勘違いしておりました。
大変ありがとうございました。

お礼日時：2011/08/18 13:44