A 回答 (2件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
ウィルソンの定理(式は表せないのでおかしい所がかなりある)は証明されています。
p が合成数のとき,22 から p-1p−1 の中には pp の約数が含まれているので,(p-1)!(p−1)! を pp で割った余りはその約数の倍数です。つまりウィルソンの定理の右から左(の対偶)が分かります。
重要なのは左から右です。
実際に pp が小さい場合に実験してウィルソンの定理の主張を確認してみます。
例
p=2 → 1\equiv -1\pmod{2}p=2→1≡−1(mod2)
p=3 → 2\equiv -1\pmod{3}p=3→2≡−1(mod3)
p=5 → 24\equiv -1\pmod{5}p=5→24≡−1(mod5)
p=7 → 720\equiv -1\pmod{7}p=7→720≡−1(mod7)
合同式に慣れていない人は合同式の意味とよく使う6つの性質を参考にしてください。
以下\bmod{p}modp の表記を省略します。
ウィルソンの定理の証明では特に,合同式の性質:
「ab\equiv acab≡ac で,aa と pp が互いに素なら b\equiv cb≡c 」
が重要になります。
以下ではウィルソンの定理の証明を2通り解説します。
ウィルソンの定理の証明1
nn が小さい場合に証明しようとすれば自然に出てくる発想です。
(7-1)!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\\ =(5\cdot 3)(4\cdot 2)\cdot 1\cdot 6\equiv 6\equiv -1\pmod{7}(7−1)!=1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6
=(5⋅3)(4⋅2)⋅1⋅6≡6≡−1(mod7)
方針
p-3p−3 個の数 2,3,\cdots,p-22,3,⋯,p−2 を2つずつペアにして消していきます。そのために,mm を固定して mn\equiv 1mn≡1 となるような相方 nn を探します。そのときに整数の有名な性質「 m,2m,3m\cdots,(p-1)mm,2m,3m⋯,(p−1)m を pp で割った余りはすべて異なる」が使えます。(この性質の証明は一次不定方程式ax+by=cの整数解の「ax+by=1についての証明」の下側参照)
証明
p=2p=2 のときは成立。以下 p\geq 3p≥3 の場合について考える。
m,2m,3m\cdots,(p-1)mm,2m,3m⋯,(p−1)m を pp で割った余りはすべて異なるので,
mn\equiv 1mn≡1 となる nn が 11 から p-1p−1 の間にただ1つ存在する(注1)。
そのような nn が,mm と等しい場合は困るのでそのような良くない場合を探す:
m^2\equiv 1m
2
≡1
つまり,(m-1)(m+1)\equiv 0(m−1)(m+1)≡0
合同式の性質より m-1\equiv 0m−1≡0 または m+1\equiv 0m+1≡0
よって,m\neq 1,p-1m
=1,p−1 のときは m\neq nm
=n となる。
よって,2,3,\cdots p-22,3,⋯p−2 の中でそのような mm と nn のペアを \dfrac{p-3}{2}
2
p−3
個作ることにより,
(p-1)!\equiv 1^{\frac{p-3}{2}}\cdot 1\cdot (p-1)(p−1)!≡1
2
p−3
⋅1⋅(p−1)
が分かりウィルソンの定理が示された。
注1:群論の言葉を使えば「 pp の剰余群の任意の元が逆元を持つ」と簡潔に表現できます。
ウィルソンの定理の証明2
方針
フェルマーの小定理を用います。発想力が必要なエレガントな証明です。
証明
f(x)=x^{p-1}-1f(x)=x
p−1
−1
という関数を考える。
フェルマーの小定理より,x=1,2,\cdots,p-1x=1,2,⋯,p−1 に対して,
f(x)\equiv 0f(x)≡0
なので,剰余の定理より(注2),任意の整数 xx に対して,
f(x)\equiv(x-1)(x-2)\cdots(x-p+1)f(x)≡(x−1)(x−2)⋯(x−p+1)
となる。
この式の xに 0を代入すると,
(-1)^{p-1}(p-1)!\equiv -1(−1)
p−1
(p−1)!≡−1
p=2 のときは自明に成立し,それ以外のとき p は奇数なのでウィルソンの定理を得る。
注2:厳密には合同式における剰余の定理も証明する必要がありますが省略します。
ちなみに,原始根の存在定理を仮定すれば原始根を使っても証明できます。→位数の性質と原始根の応用
知名度は高くないですがなかなかにエレガントな定理です
No.1
- 回答日時:
「アマチュア数学者は…上げられないだろう」の発言は、どこの誰がされたんでしょう?
話は変わりますが、当時の慶大院生2人による以下の発見は、痛快に思えました!
https://www.keio.ac.jp/ja/press-releases/2018/9/ …
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 大学受験 数学の研究者たちは大学入試問題の数学の問題をすらすらと解けるんですか?数学の研究者とは日本人以外以外 7 2022/06/27 02:14
- 数学 京都大学教授が証明。 「ABC予想・宇宙際タイヒミューラー予想」を、ザックリで説明お願致出来ますか? 1 2022/04/11 20:52
- 数学 ゴールドバッハの予想の部分証明について 4 2022/06/04 13:53
- 国家公務員・地方公務員 公務員試験の数的処理で苦戦しています。 1 2023/01/30 08:56
- 高校受験 数学の問題いくつか捨てても大丈夫?残り1ヶ月、点数が取れない教科ばっか勉強しても大丈夫? 高校受験 2 2023/01/07 17:55
- その他(職業・資格) 来年、仕事の都合でエネルギー管理士の資格試験を受験しようと考えているのですが、難易度について教えて下 1 2022/09/24 12:14
- 数学 加藤文元さんは自身のゴールドバッハの予想への見解が現実のものとなるか考えているのでしょうか? 2 2022/06/04 15:15
- 数学 以前、質問したら私はAIです。と言う回答者さんが居ました。それならば 数学のミレニアム問題の1つ、 3 2023/05/30 18:02
- 大学受験 AIの研究者になるための進路 4 2023/01/30 00:14
- 高校 勉強ができない。 4 2022/07/03 08:13
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
証明終了の記号。
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
大学の二次試験で・・・
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
血がつながっていない父親と結...
-
キリスト教は、神がいる証明出...
-
数列 n^(1/n) が収束することを…
-
2のn乗根で、 nを無限大に持っ...
-
lim(n→∞)an=-∞ の時、lim(n→∞)...
-
7x²-9y²=391を満たす整数解は...
-
極限値の証明
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
lim[n→∞]an/bn=a/bの証明法を教...
-
養子縁組って片方の親だけって...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
無理数には、任意の有限個の数...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
証明終了の記号。
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
松坂和夫著「集合・位相入門」...
-
じゃらんで旅行予約をしたので...
-
素数の性質
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
図形の証明は、日常で役立ちま...
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
再婚、奨学金
-
正解が一つとは限らない数学の...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
通学証明書の契印とは
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
円周率=∞の証明
おすすめ情報