Zを整数の加法群とする。 M=｛7,8｝はZの生成形になることを示せ。（Z=〈7,8〉となることを示

Zを整数の加法群とする。
M=｛7,8｝はZの生成形になることを示せ。（Z=〈7,8〉となることを示せ。)

という問題がわからないです。
8-7=1で、1の足し引きで全ての整数を表せることは分かるのでますが解答の書き方がよくわからないのでお答えくださると嬉しいです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/21 13:33

群 (Z,+) の話をしてるときに、乗法を使っちゃあかんやろ。

<7,8> とは、 (Z,+) の部分群で {7,8} を含む最小のもののこと。

Z の部分群で 7, 8 を含むものは、
単位元 0 を含み、
8 + (7 の逆元) = 8 + (-7) = 1,
(1 の逆元) = -1 も含む。
これを使って、帰納法を行う。

|n|≦1 のとき、上記より n は <7,8> に含まれる。
|n|≦k のとき ｎ が <7,8> に含まれると仮定すると、
k, -k, 1, -1 がどれも <7,8> に含まれるから
k + 1, (-k) + (-1) も <7,8> に含まれる。
よって |n|≦k+1 となる n は <7,8> に含まれる。
以上より、数学的帰納法によって
任意の整数は <7,8> に含まれる。

No.2 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2022/11/20 23:14

∀x∈Zに対して8x-7x=xなので〈7,8〉⊃Z。

〈7,8〉⊂Zは明らか。
したがってZ=〈7,8〉。

でどうでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/11/20 22:31

「Z の生成形」の定義を書いたうえで, M がその定義を満たすことを地道に示せばいいと思うよ.