g=gcd(a,b)とする。このときa|cかつb|cならばab|cgを示せ。という問題を c=qa,

g=gcd(a,b)とする。このときa|cかつb|cならばab|cgを示せ。という問題を
c=qa,c=q'b(q,q'は整数)
ax+by=gとなるような整数x,yが存在することの3つの式で解答しようとしているのですが、詰まってしまいました。この3つの式で証明は可能でしょうか？それとも何か足りないでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/05/21 21:37

ax+by=gの両辺にｃをかけて

acx+bcy=cg　
ｃ＝ｑ’ｂだから、ac＝ｑ’ab、またｃ＝qaだからｂｃ＝ｑab
したがって（ｑ’ｘ＋ｑｙ)ab＝cg　
ｑ’ｘ＋ｑｙ)は整数だからこれはab|cgを表している。

この回答へのお礼

ax+by=gを代入以外でいじるという発想がありませんでした。感謝です！

お礼日時：2023/05/22 13:52

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/22 13:43

この質問↓の修正版ですか。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13472557.html
前回は、ab|cg じゃなく、a|cかつb|c のほうが間違ってたんですね。

この回答へのお礼

おっしゃる通りです。あのミスからも気づきがあってよかったです。

お礼日時：2023/05/22 13:47

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/21 19:36

∃A∃B (a = gA ∧ b = gB ∧ A,Bは互いに素)

なので
　　c = qgA = q'gB
だから
　　qA = q'B
そしてA,Bは互いに素だから、B|q ∧ A|q'ですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。この性質も使って考えたいと思います！

お礼日時：2023/05/22 13:52