数学の質問です。整数aのうち、 5次多項式 x^5+x+aがQ上既約かつ、可解であるようなものは存在

数学の質問です。整数aのうち、
5次多項式 x^5+x+aがQ上既約かつ、可解であるようなものは存在するか？

という問題です。詳しい人教えてください

質問者からの補足コメント

• なぜ存在しないのかも教えてください

    補足日時：2023/02/02 08:10

No.3 回答者： 胸が大きいのが悩みなの。乳首は桜色だし。 回答日時： 2023/02/02 07:44

存在しません。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/01 09:31

おっと, 言葉が足りなかったので補足.

まず, 整数係数の 5次方程式は変数変換すると
x^5 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0
という形にできる. 変数変換の都合上もとの 5次方程式が整数係数でも変数変換したこの形では有理数係数になりえる. で, この形の有理数係数 5次方程式が可解かどうかは 2本の 6次方程式 (その係数は a_3, a_2, a_1, a_0 の整数係数多項式で計算できる) が有理数解を持つかどうかで判定できる.

という話があって, それを今のケースに適用すると, 2本の 6次方程式はどちらもモニックな整数係数方程式になる. そして, それが有理数解を持つかどうかと整数解を持つかどうかとは同値だ.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/31 23:06

ちょっと検索した限りだと「一般的な 5次方程式が可解かどうか」を判定する方法自体はあるようだねぇ. 「整数係数 6次方程式に整数解が存在するかどうか」という話に帰着するみたいだよ... 係数はえぐいけど.

可解だとわかったとしても, さらに可約かどうかを判定しなきゃならんからそこもひょっとすると面倒かな.

なお 1≦a≦12 の範囲には「既約かつ可解」なものは存在しない模様.