多項式環の証明がわかりません。

複素数を係数とする二変数多項式環をC[u,v]
二変数の対称式の全体をS(x,y)とする。
φ：C[u,v]→S(x,y)
φ(f(u,v)) = f(x+y,xy) (f(u,v) ∈C[u,v])
とすると、φ：C[u,v]→S(x,y)が全単射写像である
ことを証明せよ。

というレポートがでました。全射であるということは、S(x,y)から任意の元をとってきて、y=f(x)（←例えば）となるC[u,v]の元を見つければいいのでしょうか？また、単射はφの線形性を調べたらよいのでしょうか？解決策がみつからないのでよろしくお願いします。

No.3 回答者： guuman 回答日時： 2005/05/27 02:21

単車の理由：

f(u,v),g(u,v)∈C[u,v]であってf(u,v)≡g(u,v)でない
とすると
ある点(u,v)=(u',v')でf(u',v')≠g(u',v')である
これをt^2-u'・t+v'=0の根をt1,t2として言い換えると
f(t1+t2,t1・t2)≠g(t1+t2,t1・t2)
よって
f(x+y,x・y)≡g(x+y,x・y)でない

No.2 回答者： yoikagari 回答日時： 2005/05/27 00:43

それでは、複素係数の対称式f(x,y)はx+yとxyの多項式で書けることを示します。

…※

f(x,y)から任意にひとつの項ax^m*y^n(aは複素数かつmとnを0≦m≦nを満たす整数とする。)を取り出す。
m＜nのとき
f(x,y)は対称式だからf(x,y)は項ax^n*y^mも含んでいる。
m=nのとき
ax^m*y^m=a(xy)^mとなって、xyの多項式となる。

したがって、f(x,y)=Σ(ax^m*y^n+ax^n*y^m)=Σa(xy)^m{x^(n-m)+y^(n-m)}+a'(xy)^m

となる。

したがって、sを自然数としたとき、x^s+y^sがx+yとxyの多項式であること…○
を示せば、※は示されます。

数学的帰納法で示します。

s=1のとき
x^1+y^1=x+y+0*xyだから○は明らか
s=2のとき
x^2+y^2=(x+y)^2-2xyだから○は正しい。

s=kとs=k-1のとき○は正しいと仮定する

x^(k+1)+y^(k+1)=(x+y)(x^k+y^k)-xy{x^(k-1)+y^(k-1)}だから、帰納法の仮定より、x^(k+1)+y^(k+1)もx+yとxyの多項式であることがわかる。

したがって、s=k+1のときも○は正しい。

以上、数学的帰納法によって○は示された。

したがって、f(x,y)=Σa(xy)^m{x^(n-m)+y^(n-m)}+a'(xy)^mはx+yとxyの多項式であることが示された。

したがって、φは全射です。
単射はuyama33さんの言う通り、多項式の表現の一意性を言えばいいと思います。

No.1 ベストアンサー 回答者： uyama33 回答日時： 2005/05/26 20:07

むかし読んだ体論の本か環論の本か忘れたが

対称式は基本対称式で表現できる
と言う定理があった
これを証明すれば
上への写像であることは分かる
少し制限して表現の一意性をいえれば
１対１も分かる。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
体論か環論の本ですね。
調べてもう一度考えてみたいと思います。

お礼日時：2005/05/26 20:22