多項式が互いに素であると証明したいのですが…

多項式が互いに素であると証明したいのですが…

f(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24
g(x)=x^3-2x^2-5x+6

gcd(x^4-2x^3-13x^2+14x+24 , x^3-2x^2-5x+6) 左式をｘ倍して右式から引く
gcd(-8x^2-8x+24 , x^3-2x^2-5x+6) 左式を8で除する
gcd(-x^2-x+3 , x^3-2x^2-5x+6)　左式をｘ倍して右式に足す
gcd(-x^2-x+3 , -3x^2-2x+6)　左式を3倍して右式から引く
gcd(-x^2-x+3 , x-3)　右式をx倍して左式に足す
gcd(-4x+3 , x-3)　右式を4倍して左式に足す
gcd(-9 , x-3)　右式を3倍して左式に引く
gcd(-3x , x-3) 左式を-3で除する
gcd(x , x-3) 左式を右式から引く
gcd(x , -3) 右式を1/3x倍して左式に足す
gcd(0 , -3)

１次以上の公約多項式がないので互いに素？

行き詰りました…そもそも、公約多項式の求め方が間違っている気がします…orz
　　　　　　　　　　　　　　

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/07 01:54

＞ gcdだかユークリッドだかは、あくまで自己の検算のために用いるものであって

それは、ちょっと問題のある考え方です。
一意分解環上であっても、素元分解を実行することは、大変困難な場合がある…
むしろ、困難な場合が少なくない…　ことは、代数学の常識です。
それに比べ、ユークリッド互除法は、ユークリッド環上で常に実行でき、
有限ステップで確実に gcd を求められます。互除法のほうが、基本的なのです。
勘に頼って因数分解をする解答は、高校数学や大学入試では通用しても、
「ラッキーで答えが見つかったに過ぎない」感が拭えません。


ところで、質問文中で行われている互除法の計算ですが、
#2 では「合っています」と書いてしまいましたが、よく見ると、
一部の係数に計算間違いが含まれているようです。
それこそ、「ラッキーで答えが見つかったに過ぎない」のかもしれません。

修正してみると…
x^4-2x^3-13x^2+14x+24 と x^3-2x^2-5x+6　　右式を x 倍して左式から引く
-8x^2+8x+24 と x^3-2x^2-5x+6　　左式を 8 で除する　　　　← -8x^2-8x+24 でなく
-x^2+x+3 と x^3-2x^2-5x+6　　左式を x 倍して右式に足す
-x^2+x+3 と -x^2-2x+6　　左式を右式から引く
-x^2+x+3 と -3x+3　　右式を -3 で除する
-x^2+x+3 と x-1　　右式を x 倍して左式に足す
3 と -x+1　　右式を (x-1)/3 倍して左式に足す
3 と 0　　ここで 0 が現われたので、一段前の除数 3 が gcd とわかる

この回答へのお礼

凄く分かり易い解答を有難うございます。

ケアレスミスしていました…orz
証明としては0点ですね…精進します。

お礼日時：2010/01/07 02:46

No.4 回答者： imasokari 回答日時： 2010/01/07 01:16

#3です

例
　396と455が互いに素であることを示せ

396=2^2*3^2*11
455=5*7*13
∴互いに素

↑
　これと同じことなのでは？

　gcdだかユークリッドだかは、あくまで自己の検算のために用いるものであって、こんなことをまともに答案に書いても点数貰えないと思います。


--------------------
　因数分解のコツは、xに適当に数字を入れてやります。
　そこでゼロになれば、割り算です。

例
f(x)=x^3+3x^2-5x-7
の場合、
f(1)=1+3-5-7=-8…ハズレ
f(2)=8+12-10-7=3…ハズレ
f(3)=27+27-15-7=32…ハズレ
↓
「このまま増やしてもゼロから遠退いていきそう…なので減らしていこう」
↓
f(-1)=-1+3+5-7=0…アタリ
↓
f(-1)=0より
f(x)=(x+1)g(x)
であるから、f(x)÷(x+1)をして

(x^3+3x^2-5x-7)/(x+1)

これを計算すると
x^2+2x-7
すなわち

f(x)=(x+1)(x^2+2x-7)

x^2+2x-7は2次式であるから解の公式より

(x-1-2*2^(1/2))(x-1+2*2^(1/2))

∴
f(x)=(x-1-2*2^(1/2))(x+1)(x-1+2*2^(1/2))

↓
という感じです。

この回答へのお礼

有難うございます。因数分解というよりはユークリッドの設問でしたので、私の説明が足りませんでした。

お礼日時：2010/01/07 02:36

No.3 回答者： imasokari 回答日時： 2010/01/07 00:38

f(x)=(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)

g(x)=(x-3)(x-1)(x+2)

∴互いに素

No.2 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/07 00:18

合っています。

gcd(0, -3) という書き方は、ちょっと変ですが。

その計算過程が、ユークリッドの互除法であること
を思い出せば、正しく gcd = -3 が求まっています。
gcd が定数式なので、互いに素。
0 以外の定数式は、多項式環の単元です。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2010/01/07 00:14

何を目的に、どういうつもりで、何の式変形をしているのかが、いまいち不明。

。

とりあえず、公約多項式を求めたいなら、普通は、ユークリッド互除法でやるのが一番早いでしょう。

この回答へのお礼

有難うございます。結局は多項式同士が互いに素を証明したかったんです。

お礼日時：2010/01/07 02:37