写真の問題についていくつか質問なのですが、 1つ目…なぜ、＊の式にz=tを代入することが、立体Dをz

写真の問題についていくつか質問なのですが、
1つ目…なぜ、＊の式にz=tを代入することが、立体Dをz=tで切ることを表すのですか？

2つ目…なぜ①の式を満たす実数x,yが存在する時、断面が存在すると言えるのですか？

3つ目…赤線部についてなのですが、x²+y²が=r²より①の左辺が半径の2乗を表しているのはわかるのですが、
なぜ、①の右辺は円を表す式と言えるのですか？
円の式は(x-a)²+(y-b)²で表されるのではないですか？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/10 16:24

中心

(a,b)
半径
r
の
円周上の点を
(x,y)
とすると
円周上の点(x,y)と中心(a,b)との距離は半径に一致するから
|(x,y)-(a,b)|
=√{(x-a)^2+(y-b)^2}
=r

だから

√{(x-a)^2+(y-b)^2}=r
↓両辺を2乗すると

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
が
中心(a,b)半径rの円(周)を表す式である

中心(a,b)=原点(0,0)とすると

x^2+y^2=r^2
が
中心(0,0)半径rの円(周)を表す式である

中心(0,0)半径rの円周か内部の点を
(x,y)
とすると
円周か内部の点(x,y)と中心(0,0)との距離≦半径になるから
|(x,y)-(0,0)|
=√{(x-0)^2+(y-0)^2}
=√(x^2+y^2)
≦r

√(x^2+y^2)≦r
↓両辺を2乗すると
x^2+y^2≦r^2
が
中心(0,0)半径rの円周および内部を表す式である

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/10 13:31

１つ目：

x² + y² + log(1+z²) ≦ log(2) で表される立体と
z = t で表される平面との共通部分(断面)は、
x² + y² + log(1+z²) ≦ log(2) かつ z = t
で表される図形です。それは、
x² + y² + log(1+t²) ≦ log(2) かつ z = t
と表しても同値ですね。

２つ目：
ある t の値に対して「断面が存在する」とは、
上記の x² + y² + log(1+t²) ≦ log(2) かつ z = t
を満たす (x,y,z) が存在するということです。
任意の実数 t に対して、 z = t を満たす z は存在しますから、
そのような (x,y,z) が存在することは
x² + y² + log(1+t²) ≦ log(2) を満たす (x,y) が存在すること
と同値ですね。

3つ目：
円を表しているのは、「①の右辺」ではなく「不等式①」です。
円の式は (x-a)²+(y-b)² ではなく、 (x-a)²+(y-b)²≦r² です。
方程式や不等式が図形を表すというのは、
x,y がその式を満たす　⇔　(x,y) がその図形に含まれる
となることを言います。
方程式や不等式が図形を表すことはありますが、
多項式が図形を表すことはありえません。
多項式には、値を代入したとき成立するとか成立しないとか
の概念がそもそも無いからです。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2023/02/10 12:38

>>なぜ、①の右辺は円を表す式と言えるのですか？

右辺？？式全部の形だよ
x²+y²={√(log2-log(1+t²)}²は円。

原点を中心として半径√(log2-log(1+t²)の円だよ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/02/10 10:58

1つ目&2つ目: ある立体を z=t で切った断面は, その立体において z座標が t である点の集合だろ?

3つ目: どこがどう疑問なのかがわからないが, 少なくとも「(x-a)²+(y-b)²」は「円の式」ではない. 画像の文章も真に厳密ではないといえなくもないが, z=t であることを念頭におけば当該条件のもとで「円板」であることはわかるのではないか?

この回答へのお礼

3つ目の質問についてですが、なぜ、log2-log(1+t²)が円を表すのですか？

お礼日時：2023/02/10 11:32