【 数I 連立不等式 】 問題 aを定数とし、連立不等式 x-6a≧-1･･･① { ∣x+a-1∣

【 数I 連立不等式 】
問題
aを定数とし、連立不等式
x-6a≧-1･･･①
{
∣x+a-1∣＜5･･･②
を考える。
不等式②の解と，連立不等式①，②の
解とが一致するようなaの値の範囲を表
す不等式は
スセ
a=シ －－
ソ
となる。シ，ス，セには何が入るか？
※－－は分数の線を表しています。

解答
※写真

疑問
なぜ∣x+a-1∣＜5 ⇔ -5＜x+a-1＜5と
なるのですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/11 19:40

(|x+a-1|<5)→(-5<x+a-1<5)の証明

|x+a-1|<5
とすると
x+a-1≧0の時
|x+a-1|=x+a-1
だから
x+a-1=|x+a-1|<5
x+a-1<5
↓0≦x+a-1だから
0≦x+a-1<5…(A)

x+a-1<0の時
|x+a-1|=-(x+a-1)
だから
-(x+a-1)=|x+a-1|<5
-(x+a-1)<5
↓両辺に(x+a-1)-5を加えると
-5<x+a-1
↓x+a-1<0だから
-5<x+a-1<0
↓これと(A)から
∴
-5<x+a-1<5
--------------------
(-5<x+a-1<5)→(|x+a-1|<5)の証明

-5<x+a-1<5
とすると
x+a-1≧0の時
|x+a-1|=x+a-1<5
だから
|x+a-1|<5

x+a-1<0の時
|x+a-1|=-(x+a-1)
↓両辺にx+a-1-|x+a-1|を加えると
-5<x+a-1=-|x+a-1|
だから
-5<-|x+a-1|
↓両辺に|x+a-1|+5を加えると
|x+a-1|<5
∴
|x+a-1|<5
-----------------------
∴
(|x+a-1|<5)←→(-5<x+a-1<5)

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2022/07/12 20:23

絶対値は数直線上での原点との距離を表します。

例えば、
|A|=5 はAと原点との距離が５ということなので、A＝±5
つまり、
|A|=5 ⇔ A＝±5

|A|<5 はAと原点との距離が5より小さいということなので、-5<A<5
つまり、
|A|<5 ⇔ -5<A<5
よって、
|x + a - 1| < 5 ⇔ -5 < x + a - 1 < 5

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/11 21:59

① ⇔ (① かつ ②) となるような a の範囲ですね？

① ⇔ ① かつ (② または not ②) ⇔ (① かつ ②) または (① かつ not ②)
であることを考えると、① ⇔ (① かつ ②) は (① かつ not ②) ⇔ 偽 と同値です。
対偶をとれば、 真 ⇔ ((not ①) または ②) ⇔ (① ⇒ ②) でもあります。
要するに、 ① ⇒ ② となるような a の範囲を求めればよいわけです。

① ⇔ (6a-1 ≦ x),
② ⇔ ((-a+1)-5 < x < (-a+1)+5)
なので、 ① ⇒ ② となる 範囲は 6a-1 ≦ (-a+1)-5.
後半は、① の範囲と ② の範囲を数直線上に図示しながら考えてみましょう。

こうして、写真にある 6a-1 ≦ -4+a が得られるのですが、
今回の問題では、なぜかこれを問題文中で教えてしまっています。
じゃあ、もう後は不等式を解くだけじゃありませんか。
6a-1 ≦ -4+a を解いて、
6a-a ≦ -4+1,
5a ≦ -3,
a ≦ -3/5. これが、写真の下から 2行目ですね。
最下行が何を言っているのかは、写真の引用だけからは判りようがありませんが。