a+b+c+d=16ただし 0＜a＜b＜c＜d

a+b+c+d=16
を満たす非負整数は4H16で求まりますが、


a+b+c+d=16ただし0＜a＜b＜c＜d
これがうまく解けません。

0を含まないので0を含ませるために
a-1+b-1+c-1+d-1=16-4
a'+b'+c'+d'=12と変形する。
これで非負整数の問いに出来たと思いますがこうなると
4H12
1,1,1,13
1,1,2,12
など含んでしまいます。
数え上げはやはり間違えてしまいます。
前回関連問題にお答えいただきました皆さまありがとうございました。

質問者からの補足コメント

• 数え上げのとき
  a+bが6を超えると成り立つものがなくなります。
  これを早い段階で知りたいのですが範囲の狭め方も教えてください。

    補足日時：2015/12/27 05:01

• 間違えました。a+b=6以上のときから成り立つものがなくなります。6のときも成り立ちません。

    補足日時：2015/12/27 05:45

• >a+b=6を試すとうまく行かないことがわかるので a+b≦5
  
  a+b≦7なのに
  a+b=7は何故確認しないでいいのですか。
  a+b=6がうまく行かないことがわかると自動的にa+b=7もうまくいかないことが分かるのですか。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/12/27 11:12

No.14 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/30 00:18

何をもって「よい書き上げ方」と考えるのかさっぱりわからんけど, ふつうは何も考えずにつらつら列挙していくだけ. たとえば

1-2-3-10,
1-2-4-9,
1-2-5-8,
1-2-6-7,
1-3-4-8,
1-3-5-7,
1-4-5-6,
2-3-4-7,
2-3-5-6
で都合 9通りであることは容易に書けるはずだよね.

No.13 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/29 00:21

「数え上げの落としや重複を防」ぐだけなら, 例えば樹形図でも書けばいい.

この回答へのお礼

以前も樹形図を。と教えていただきましたがようは樹形図の効率のよい書き上げ方が分からないのです。
是非補足お願いします。ありがとうございます。

お礼日時：2015/12/29 00:25

No.12 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/28 17:07

>(a+b)/2 < b < c < (c+d)/2

つまり

(a+b)/2 < x < (c+d)/2

という区間に整数が2個以上必要ということ


a+b=5, c+d=11 → 2.5くx <5.5 合格

a+b=6, c+d=10 → 3 くx <5 不合格

a+b=7, c+d=9 → 3.5 くx < 4.5 不合格

a+b=8, c+d=8 → 4 くx <4 不合格

No.11 回答者： nag0720 回答日時： 2015/12/28 15:47

(a-1)+(b-2)+(c-3)+(d-4)=16-10

a'+b'+c'+d'=6 (a',b',c',d'は非負整数、0≦a'≦b'≦c'≦d')
と変形すれば、数え上げやすくなるんじゃない？
（No.1さんが「回答本文ですよ」と言っているのはこういうことです。この方法は「＜」を「≦」に変える常套手段です）

別の方法としては、
a=a'+1
b=a'+b'+2
c=a'+b'+c'+3
d=a'+b'+c'+d'+4
と置けば、
4a'+3b'+2c'+d'=6 (a',b',c',d'は非負整数)
これは、
p+q+r+s=6 (p,q,r,sは非負整数、pは4の倍数、qは3の倍数、rは2の倍数)
としても同じ。
これも、少しは数え上げやすくなるでしょう。

どの方法が数え上げやすいかは、好みの問題もあるので、一概には言えませんが。


このような問題は、nCr、nHrを使っても簡単には計算できません。
やるとしたら、
a'+b'+c'+d'=6
として、4H6を求めて、それを「4つとも同じ」「3つだけ同じ」「2つだけ同じが2組」「2つだけ同じが1組」「4つとも違う」に分けて、それぞれを順列の数で割るという方法があります。
でもこれは、a'+b'+c'+d'=100とかなら有効でしょうが、6ぐらいならかえって面倒です。

No.10 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 11:20

5≦a+d≦11

a+d=5〜6の時
(b,c)の組は存在しない

a+d=7の時
(b,c)=(4,5)の1通り。

a+d=8の時
No.9の通り、3通り。

a+d=9の時
(a,d)=(1,8)(2,7)(3,6)
(a,d)=(1,8)のとき
(b,c)=(2,5)(3,4)の2通り
(a,d)=(2,7)のとき
(b,c)=(3,4)の1通り
(a,d)=(3,6)のとき
(b,c)の組は存在しない

a+d=10の時
(a,d)=(1,9)(2,8)(3,7)
(a,d)=(1,9)のとき
(b,c)=(2,4)の1通り
(a,d)=(2,8)のとき
(b,c)の組は存在しない
(a,d)=(3,7)のとき
(b,c)の組は存在しない

a+d=11の時
(b,c)=(2,3)の1通り


以上、全9通り。

No.9 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/28 10:31

b+c=a+d=8と仮定すると、

(1,7)(2,6)(3,5)(4,4)の4種類ある。

設問の場合、
(1,7)(2,6)(3,5)の組を2つ選べばいいため、少なくとも3C2=3通りの答えが存在する。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/28 02:14

ちょっと確認したいんだが, 元の質問文の「0を含まないので0を含ませるために～」のところ, なんでダメなのか理解できてる?

あと「数え上げのとき
a+bが6を超えると成り立つものがなくなります。
これを早い段階で知りたいのですが範囲の狭め方も教えてください。」
のところも, 地道にベタベタやっていけばそんなことを知らなくてもできるのはわかってるよね?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

1,1,1,13
1,1,2,12
のように同じものを含むから出来ないのだと思います。
それともnCr、nHrを使っても出来ますか。

現実的にはa+b≦7はすぐ求まるので
7まで数え上げて確認しても大差ないかも知れません。

この問はa+b+c+d=16となる正の整数の組み合わせを求める問と同じですがどうも数え落としが多いのです。
ですから数え上げの落としや重複を防げるやり方を知りたいと考えています。

お礼日時：2015/12/28 03:07

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/27 12:45

>ここ不等式を使って説明していただくこと出来ますか。

ご自分で考えた方が良いのでは・・・
単純な話なので。

(a+b)/2 < b < c < (c+d)/2

を満足する整数が存在する必要条件は？

この回答へのお礼

(a+b)/2 < b < c < (c+d)/2
(a+b)< 2b < 2c < (c+d)
(a+b)< (c+d)
(a+b)-(c+d)<0
(c+d)-(a+b)>0?


(a+b+)c+d< 2b+ (c+d)?
16<2b+(c+d)
？？？？
もうめちゃくちゃです。

お礼日時：2015/12/27 14:12

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/27 11:46

>a+b=7は何故確認しないでいいのですか。

a+b=6 が上手くいかないのはc+dが小さすぎるため。
a+b=7 だとc+dはもっと小さくなければならないので
上手く行くはずがないのです。

a+b=6からチェックを始めるのは
c+d-(a十b)≧2 なので望み薄そうという判断から。

この回答へのお礼

なんとなくしか分からないです。ごめんなさい。
> a+b=6 が上手くいかないのはc+dが小さすぎるため。
> a+b=7 だとc+dはもっと小さくなければならないので
> 上手く行くはずがないのです。
ここ不等式を使って説明していただくこと出来ますか。

>a+b=6からチェックを始めるのは
>c+d-(a十b)≧2 なので望み薄そうという判断から。
c+dとa十bの差が大きければむしろ良さそうに思えてしまうのです。

お礼日時：2015/12/27 12:04

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/27 07:40

>どうしたら書き上げ始める前にa+b≦5の条件に気づけたでしょうか。

0<a<b<c<d a+b+c+d=16 から a+b<16÷2 → a+b≦7
は直ぐに分かります。

a+b=6を試すとうまく行かないことがわかるので a+b≦5

この回答へのお礼

ありがとうございました。一応確認ですが

0<a<b<c<d a+b+c+d=16 から
a+b+a+b<16
a+b<8
a+b≦7

こうですか。

お礼日時：2015/12/27 08:05