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「x≧−6 であるすべてのxに対し,不等式2ax≦6x+1が成り立つような定数aの範囲を求めよ。」
という問題で、a>3のときに成立しないxの値(反例)を挙げていただきたいです。

模範解答は手元にあるので解き方などはわかるのですが、1/2(a-3)がa>3のときに成り立たないxの値がある。ということがイマイチ納得できません。
(当たり前ですが-6より小さくなることがないことは理解しています)

仮にa=3.00000001 などだった場合、かなり大きい数もカバーできると思うのです。
こう考えると全てのxに対して成立するような気がするのですが、具体的には反例にはどのような値が挙げられますか?

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    文章がわかりづらかったらすみません。
    一応簡単にまとめてお伝えします。

    この問題の不等式を整理し、場合分けして考えていく流れになり、a>3のときはx ≦ 1/2(a-3)と表せます。

    そして、1/2(a-3)のaの値次第で、x≧-6を満たすのか満たさないのかが変わってくることになると思うのです。

    aの値はかなりの数をカバーできる気がしています。
    カバーできないxの値があるとして、具体的にはどのような数が挙げられるでしょうか?

    ということがお聞きしたいのです。

      補足日時:2022/07/22 05:59

A 回答 (4件)

a>3のときはx ≦ 1/2(a-3)と表せます。



だからa>3のときはx>1/2(a-3)となるすべてのxが反例になる
ということですよ。
a=3.00000001ならば=1/2(a-3)=1/0.00000002=5000万
より大きいすべてのxが反例です。
もちろん反例の範囲はaのあたいでかわりますが
ちゃんと存在するのです。
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この回答へのお礼

助かりました

aが定数だから、aがその範囲を満たすとある一つの数であるとき、x≧-6を満たせない値が出てくるということですね!
aが変数みたいな捉え方をしていましたが、定数なので何かしらの一つの値でしかないですよね。
すごくよく分かりました!

ありがとうございます!

お礼日時:2022/07/22 12:59

No.1 です。


#1 に書いたような意味でなければ、たとえば

a = 4 のときには
 x ≦ 1/[2(4 - 3)] = 1/2
なので、このときには
 1/2 < x たとえば x=1
に対しては与不等式は成り立たない

というようなことですか?
これが一つの「反例」になると思いますが。

a>3 のときは x ≦ 1/[2(a - 3)]   ①
の意味するところは

(i) 1/[2(a - 3)] > 0 なので、x≦0 であれば常に①は成り立つ、つまり
 -6 ≦ x ≦ 0 に対して 3 < a であれば①は常に成り立つ。

(ii) 0<x のときには、①は
 0 < x ≦ 1/[2(a - 3)]
なので、乗除算をしても不等号の向きは変わらず
 a - 3 ≦ 1/(2x)
→ a ≦ 3 + 1/(2x)

これは、x → ∞ のとき a≦3 ですから、3<a でこれを満たす a はないことになります。
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この回答へのお礼

ありがとう

aが定数だという意識がちゃんとなかったみたいです。

a=4 だった場合。 x≦1/2となる。
でも、xは-6以上のすべてだから。
1/2より大きい数の時点でもう不成立になるということですね。

拙い質問に親切に答えていただきまして、本当にありがとうございました。

お礼日時:2022/07/22 13:06

a>3の時



x=1+1/{2(a-3)}

とすると

x=1+1/{2(a-3)}>1/{2(a-3)}
だから
x>1/{2(a-3)}
↓両辺に2(a-3)をかけると
2(a-3)x>1
2ax-6x>1
↓両辺に6xを加えると
2ax>6x+1
だから
2ax≦6x+1は成り立たない
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なんか、設問の意味を取り違えているような気がします。



「x≧−6 であるすべてのxに対し,不等式2ax≦6x+1が成り立つ」の
「x≧−6」は
「必要条件」であって「十分条件」でも「必要十分条件」でもありません。

つまり
「x<-6 のxに対し,不等式2ax≦6x+1が成り立たないものがある」
ということは求めていません。

そこを何か勘違いしていませんか?
質問の趣旨が違うのであればスルーしてください。
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この回答へのお礼

うーん・・・

ご回答ありがとうございます。

設問の意味を取り違えているかについてですが、正直に言えば自信はないです…。
(このお礼の文章を書いてる中で矛盾している発言があったことには気がつきました。)

この設問の中に、「成り立たない場合が何か」が問われていないことは理解しているつもりです。

私がお聞きしたかったのは
この問題を場合分けをして範囲を求めていく中で
a>3のときについても考えるわけですが
この場合はx≧-6成り立たないxの値があるため
このa>3は不適となると思うのです。

ここで、素朴な疑問として、
「a>3のとき、成り立つ値と成り立たない値があって、不適となるらしいけど、具体的にはaの値が何のときに成り立たないのだろうか?」
とちょっとした確認のつもりで考えたくなったのです。
そして、x≧-6が成立しないaの値を考えてみたくなったのですが、思い浮かばなかったので
質問させていただいたという感じです。

わかりづらくてすみません。

お礼日時:2022/07/22 12:39

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