写真の問題の(3)についてですが、わからないことがあります。 ・なぜ①と②の式を連立するのですか？(

写真の問題の(3)についてですが、わからないことがあります。
・なぜ①と②の式を連立するのですか？(この連立方程式が何を表しているのかピンときません)
・①と②を整理したものの判別式≧0となっていますがなぜ①と②を共に満たすx1は必ず存在すると言えるのでしょうか？
・②の式と赤丸の図から1<(k/2)とkの範囲が定まりますが、赤丸の図からは(k/2)<(数値)というように、k/2がそれ以上にならない範囲もあると思うのですが、なぜそれは考慮する必要がない。もしくは2√2以下にあると言えるのですか？

写真: https://d.kuku.lu/pk4hz65bu

質問者からの補足コメント

• ・また、x1+2y1=kというのは問題で与えられていますが、どのように考えればx1+2y1=kと置く発想が浮かぶのでしょうか？

    補足日時：2023/08/24 11:10

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/08/24 14:16

＞ どのように考えればx1+2y1=kと置く発想が浮かぶのでしょうか？

さあ？ 出題者は、どのように考えて (1) のような誘導を置いたのでしょうね？
私だったら思いつかないな。最初に読んだとき、
直線QRを勝手に ② と置いたのかと思い、誤答だと思ってしまいました。
誘導なしの問題で答案を (1)(2) の流れで書いてしまうと、
私のように誤読する採点者もあるかもしれません。

おそらく、(2) の最後から一行手前の式を整理して簡単にしようと考えて、
そのためには (1) をすればよい... という話になったのだとは思います。
話の流れが前後しているし、計算上の技巧に走り過ぎて
何のために k を (1) のように置いたのかが、計算を終えるまで見えてこない。
あまり筋のよい解法とも思えません。

答案としては (解II) のほうが良いだろうし、
誘導なしで (解I) を答案にするとすれば、
少なくとも (2)→(1) の順で話を進めるべきでしょう。
でないと、何がしたいのかマジで判らない。

＞ ①と②を整理したものの判別式≧0となっていますが
＞ なぜ①と②を共に満たすx1は必ず存在すると言えるのでしょうか？

確かに、リンク先の答案は言葉が足りませんね。
判別式≧0 は、本来は ① と ② を共に満たす x1 が存在するための
必要条件に過ぎません。この問題の場合は、
(① かつ ②) ⇔ ((② を ① へ代入した x1 の二次方程式) かつ ②)
であること、更に ② が一次式であることから、
二次方程式が解 x1 を持つことと連立した ①② が解を持つことが
同値となっています。その部分を言葉で書くと話がゴチャゴチャするので、
「わかるでしょ？」で済ませちゃったのかな。

＞ ②の式と赤丸の図から1<(k/2)とkの範囲が定まりますが、赤丸の図からは
＞ (k/2)<(数値)というように、k/2がそれ以上にならない範囲もあると思うのですが、
＞ なぜそれは考慮する必要がない。もしくは2√2以下にあると言えるのですか？

そこを説明するために、② による k の定義に
(1) のような図形的解釈を与えたのでしょうが、そのため却って
何のために k を定義したのかが読み取りにくい
おかしな答案になったのだとは思います。
出題者の親心が全く裏目に出た小問構成と言えるでしょう。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/08/24 12:44

「演習問題1の感覚で」と書かれているので、そちらを参照してはいかがですか？

画像には含まれていないので意味不明です。

分かる範囲で書けば：

＞・なぜ①と②の式を連立するのですか？(この連立方程式が何を表しているのかピンときません)

①は楕円の式、
②は「最大値」を求める k の式（一般には「評価式」と呼ぶかな）
です。
② の x1, y1 が①を満たすという条件下で、②の定数 k が最大になるようにするのが与えられた課題です。
「② の x1, y1 が①を満たす」ということから①と②を連立させています。
①と②では「x1, y1 は共通の値」を表すからです。
（問題では、それを混同しないように、わざわざ一般の「x, y」と、「①②だけに通用する x1, y1 を分けてくれていますね。出題者の親切心でしょう）


＞・なぜ①と②の式を連立するのですか？

上に書いたとおり、②の「x1, y1」は①を満たさないといけないから。


＞・①と②を整理したものの判別式≧0となっていますが、なぜ①と②を共に満たすx1は必ず存在すると言えるのでしょうか？

発想が逆ですね。
「①と②を共に満たすx1は必ず存在する」
といっているのではなくて、
「①と②をともに満足する x1 が存在する」
ための必要条件です。


＞・②の式と赤丸の図から1<(k/2)とkの範囲が定まりますが、

「赤丸の図」とは、右側のページの図のことですか？
この図は
　x1 + 2y1 = k → y1 = (1/2)x1 + k/2
の (x1, y1) が楕円上にあることを図示ししたもので、k/2 はその y切片ですね。
なので
　1 ≦ k/2 ≦ p　　　③
ここで、p の値は「楕円との接点」を計算しないと求まりません。

楕円との接点は、実は「①②の連立方程式が重解をもつ」ときなので、
その上の判別式で D=0 とした
　k = 2√2　（これが「第1象限」での接線のとき）
　k = -2√2　（これが「第3象限」での接線のとき、この問題では x>0、y>0 なので対象外）
ということになります。

＞赤丸の図からは(k/2)<(数値)というように、k/2がそれ以上にならない範囲もあると思うのですが、

はい、それが上の「k = 2√2 のとき」です。
それが k/2 の上限値となって、③で k=2√2 のとき p=√2 になります。


>なぜそれは考慮する必要がない。
＞もしくは2√2以下にあると言えるのですか？

いやいや、上のようにめっちゃ考慮していますよ。

あなたは、そもそも①②の連立や、それが「楕円と交点を持つ、あるいは接する」という意味での「判別式」であることを全く想像・理解できていないので、
そういう疑問がわいたのでしょうね。

「解説、解答」をぼ～っと見てそのまま受け入れるのでなく、
そこでは何をしているのか、どんな意図・目的でそうしているのか、という「裏」とか「行間」を読む、自分のアタマで考える、想像することが大事です。


＞・また、x1+2y1=kというのは問題で与えられていますが、どのように考えればx1+2y1=kと置く発想が浮かぶのでしょうか？

質問の意味が不明です。
単に、x1, y2 が「楕円の式」を満足するときに、
　x1 + 2y1 = k
で表わされる「関数 k」（上に書いたように、一般にはこのような最大・最小を評価したい式を「評価式」と呼びます）の値がどうなるか、という問題だからとしか言いようがありません。

似たような問題に、
　材料 x と y の供給量が「x^2 /4 + y^2 = 1 (x>0, y>0)」で表わされるときに、
（x をたくさん仕入れると y は減り、逆に x を減らせば y を多くできる）
　製品は、1個あたり x を１つ、y を2つ必要とする。
　製品をできるだけたくさん作るには、x, y の仕入れをどうすればよいか。
というようなものがあります。
このときには x + 2y = k は「製造できる製品の数」に相当します。

これは製品が「x を3個と y を5個必要とする」なら、精算できる製品の数は
　n = 3x + 5y
になります。何を評価したのかによって、評価したいものを式にしただけです。
そういった「最大、最小にしたいもの」を式で表わしているだけで、「発想」も何もありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。x1+2y1=kというのは与えられた条件だから、発想とかそういう問題ではないということですね

お礼日時：2023/08/24 13:38