中学数学の問題で

Question

a、b、cは連続する３つの奇数で、0＜a＜b＜c＜100である。
√a+b+c（ルートa+b+c）が正の整数となるaのうち、最も大きなものは？

これの求め方を教えてください。
子供に聞かれたんですけど、恥ずかしながらわかりません。
よろしくお願いします。

yhr2 · Accepted Answer

3つの連続する奇数なので、
　a = 2n + 1
として
　b = 2n + 3
　c = 2n + 5
と書けます。

0<a、c<100 であるためには、n=0～47 です。

従って
　a + b + c = 6n + 9 = 3(2n + 3)

この平方根 
　√(a + b + c) = √[ 3(2n + 3) ]
が正の整数であるためには、「2n + 3」が「何かの2乗 × 3」であることが必要です。
つまり
　2n + 3 = 3m^2
→　m^2 = (2/3)n + 1

これが成り立つには、n は最低限「3の倍数」でなければならない。
n=0～47 の範囲で書き出してみると
　n=0 → m^2=1 → m=1
　n=3 → m^2=3　×
　n=6 → m^2=5　×
　n=9 → m^2=7　×
　n=12 → m^2=9 → m=3
　n=15 → m^2=11　×
　n=18 → m^2=13　×
　n=21 → m^2=15　×
　n=24 → m^2=17　×
　n=27 → m^2=19　×
　n=30 → m^2=21　×
　n=33 → m^2=23　×
　n=36 → m^2=25 → m=5
　n=39 → m^2=27　×
　n=42 → m^2=29　×
　n=45 → m^2=31　×

これから言えば、最大のものは
　n=36 のとき
　　a= 73, b=75, c=77
このとき
　√(a + b + c) = √(73 + 75 + 77) = √225 = 15

方針を決めて、全部書き出すという力技で解けばよいのです。

guunagoona2015 · Answer

a=2n+1,  b=2n+3,  c=2n+5　(n≧0) とおくと
c<100　より　2n+5<100　n<47.5
これから、 n　の範囲は　0≦n≦47

√(a+b+c)=√{(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)}=√(6n+9)=√{3(2n+3)}
が正の整数になるから
2n+3=3k^2　(k は整数)　 ･････　①　とおける。
このとき、ｋの範囲は
0≦n≦47　より　3≦2n+3≦97　だから
3≦3k^2≦97
1≦k^2≦32　　　( ⇐  97/3=32.333･･･ )
1≦k≦5
① より
2n+3 は奇数だから
3k^2　つまり　k も奇数
よって
k=1, 3, 5

最大のａを求めるから
k=5 のとき　① より
2n+3=3･5^2=75
これは連続する３つの奇数の真ん中の奇数だから
a=73

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
以下は高校の数学 I で習う内容を使って解いています。

2n+3=3k^2　(k は整数)　･････　①　とおける。

これから
2n=3k^2-3
2n=3(k^2-1)　･････　②
と変形して
２と３は互いに素だから
n=3m (m は整数)　･････　③　とおける。
m の範囲は
0≦n≦47　より　0≦m≦32
③を②に代入して
2･3m=3(k^2-1)
2m=k^2-1
2m+1=k^2

2m+1 は平方数になり
0≦m≦32　より　1≦2m+1≦65　だから
2m+1=1,  9,  25
m=0,  4,  12

最大のａを求めるから
m=12 を③に代入して
n=36
したがって
a=2･36+1=73

sasa-san · Answer

それほど大きくない数値なので、
No.1の方のやり方で十分だとは思いますが、、、

a=2n+1
b=2n+3
c=2n+5
(nは0以上の整数)
0＜a＜b＜c＜100 より、cの最大値は99なので
2n+5<100
n<47.5

a+b+c =2n+1+2n+3+2n+5 =6n+9 =3(2n+3)
a+b+c は平方数でなければならないので、
(2n+3)には因数3を含まなければならない。
このとき、n=3kとおくと、
a+b+c =3(2n+3) =3²(2k+1)
さらに、a+b+c が平方数となるためには、
(2k+1)が平方数でなければならないことがわかる。

n=3k<47.5
k<15.8333…
したがって、kは0以上15以下の整数で、
(2k+1)が平方数となるものを考えればよい。

kの範囲から、(2k+1)は 1から31までの奇数。
また、平方数は 1,4,9,16,25,49,… なので、
この条件を満たすkは、0,4,12 の3つのみであることがわかる。

よって、n=3k より
n=0,12,36　のとき、√(a+b+c) が整数になることがわかった。

求めたいものは、√(a+b+c) が整数になるときに最も大きいaなので、
n=36　つまり、
a=2×36 +1=73　
ということになります。

----------
√(a+b+c) が整数
⇔(a+b+c) が平方数
⇔(a+b+c) の因数が2つずつ
ということと、
c=2n+5 が取りうる範囲から、
√(a+b+c) が整数になるようなnを探しています。
途中、条件を読み替えて数値を小さくしているのがコツです。

stega · Answer

√(99+97+95)≒17.06
なので
17以下で考えましようか
yhr2さんの理屈で
ルートのなかみは9の倍数なので、結果は3の倍数でしょうか。
17以下なので、15ですね
yhr2さんの考え方をぬすみまして、探す方向を変えてみました。

中学数学の問題で

3つの連続する奇数なので、

a=2n+1, b=2n+3, c=2n+5 (n≧0) とおくと

それほど大きくない数値なので、

√(99+97+95)≒17.06

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