n乗　　

Question

(x＾n)を(x-1)＾2で割ったときのあまりを求める
という問題で

別の解き方で
＞「多項式ｆ（ｘ）をｘ－ａで割った余りはｆ（ａ）になる」という定理を使うとき方をおしえてください。

ｎ＝０，１，２のとき、ｘｎを（ｘ－１）２で割った余１，ｘ，２ｘ－１
ｎ＞２。ｆ（ｘ）：＝ｘｎ－１＋…＋１とおく、ｆ（ｘ）をｘ－１で割った余りは、ｆ（１）＝ｎ、ある多項式ｇ（ｘ）を用い、ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｇ（ｘ）＋ｎ。よって
　　ｘｎ＝（ｘ－１）（ｘｎ－１＋…＋１）＋１＝（ｘ－１）｛（ｘ－１）ｇ（ｘ）＋ｎ｝＋１＝（ｘ－１）２ｇ（ｘ）＋ｎｘ－ｎ＋１

 
とうとき方になるそうですが、
よくわかりません。
もし、よろしければおしえてください。

KENZOU · Accepted Answer

＞整理すると、x^n-1=(x-1)(x-1)^2・g(x)+n(x-1)

にはならない。右辺第１項が間違っています。下の式をじっくり眺めましょう。

　x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)

＞x＾n=はどこからでたのですか
そしえて、＋１もどこからですか？

上の式をじっくり眺めると分かると思いますが、両辺に1を足すと
右辺は　x^n-1+1=x^n　となりますね。
左辺は　(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1
つまり＋１は両辺に1を足すところからきているのです。あとは貴方の健闘を祈る。

KENZOU · Answer

補足を要求する前に自分でまずよく考えましょう。そうしないとなかなか力がつきませんよ（←老婆心ながら）。
＞右辺は　x^n-1+1=x^n　
ですが、
これはx＾(n-1)ですか？
それともx＾(n)-1ですか？

式の流れが理解できていればすく分かるはず。
　x^(n)-1+1=x^n　
しか考えられないですね。

KENZOU · Answer

＃２のKENZOUです。どうも説明が不十分だったのか分からんとこだらけですね(笑い）。ゆっくり説明しますのであせらずにじっくり考えてください。

＞x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1}
のx^(n-(n+1)がよくわかりません。

すみません、書き間違えました。正解はx^(n-(n-1))です。具体的にn=4の場合を見てみましょう。
x^(4-1)=(x-1){x^(4-1)+x^(4-2)+x^(4-3)+x^(4-4)}
       =(x-1){x^(4-1)+x^(4-2)+x^(4-3)+1}
この右辺の第3項はx^(4-3)になっていますね。これは
x^(4-(4-1))ですね。つまりn=4とするとx^(n-(n-1))になっています。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
＞＞f(x)をx-1で割った商をg(x)、余りをCとします。余りは＜剰余定理＞よりC=f(1)
は例題ですか？

f(x)=(x-1)g(x)＋C　とかけますね。＃２で書いた剰余の定理を適用すると余りはx=1を代入することで求めることができます。
f(1)=(1-1)g(1)+C=0+C=C　つまり　C=f(1)　ですね。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
＞(5)の
f(x)=(x-1)g(x)+n　　はなんとなくわかったのですが、どこから表されているのがよくわかりません。　

f(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n-1))+1　　(3)
と置きましたね。f(x)を(x-1)で割った余りをCとすると
　f(x)=(x-1)g(x)+C
と書けますがいいですか。余りCはすでに上でC=f(1)と求まっていますので、(3)でx=1を代入すると
　f(1)=1^(n-1)+1^(n-2)+・・・1^(n-(n-1))+1
      =1+1+・・・1+1
　　　=n　(←1が全部でn個ある）
（n=4の場合に本当にそうなるか具体的に数えてみてください）

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
＞（６）のx^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)　
x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}は流れで把握したのですが、(x-1)^2・g(x)+n(x-1)にどうしてなるのかわかりません

これは右辺をただ単に展開しているだけ。
右辺=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
＞剰余定理をしらべたのですが、
h(x)⇔x^n、f(x)⇔g(x)、C⇔n(x-1)+1
についてよくわかりません

これは難しく考える必要はありません。
(7)式より
　x^n=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1　　(7)
となりますね。この式の意味は　x^nを(x-1)^2で割った商がg(x)、余りはn(x-1)+1　であるということ。(1)のh(x)=(x-a)f(x)+C
はh(x)を(x-a)で割った商がf(x)、余りはCという意味。それを関係づけただけです。⇔の記号なんかにまぎらわされないように（単に対応していますよということを言いたかっただけですから）

noname#24477 · Answer

補足に対してx^2-1=(x-1)(x+1)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^4-1=(x-1)(x^3+x^2+x+1)
以下同様です。

KENZOU · Answer

ojamanboさんがすでに答えられていますので、以下はその補足の蛇足です。
＜剰余の定理＞
・xの多項式h(x)を(x-a)で割った場合の余りがC（定数）であれば多項式h(x)は次のように書ける。
　　h(x)=(x-a)f(x)+C　　(1)
・余りCは(1)の両辺にx=aを代入すれば求まる。
　　h(a)=(a-a)g(a)+C=C

x^n-1の多項式は次のように因数分解されます（←これがこの問題のポイント）。
　x^n-1=(x-1){x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1}　(2)
右辺の第2項をf(x)と書くと
　f(x)=x^(n-1)+x^(n-2)+・・・x^(n-(n+1))+1　　(3)
となります。これを(2)に入れると
　x^n-1=(x-1)f(x)　　(4)
と書けますね。さて、f(x)をx-1で割った商をg(x)、余りをCとします。余りは＜剰余定理＞よりC=f(1)ですが、具体的数値は(3)の右辺のxに1を代入すれば求まる。右辺の項は合計n個あるからf(1)=1+1+1+・・・+1=n。これからf(x)は
　f(x)=(x-1)g(x)+n　　(5)
と書けます。(5)を(2)に代入してやると
　x^n-1=(x-1){(x-1)g(x)+n}=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)　(6)
となり、整理すると
　x^n=(x-1)^2・g(x)+n(x-1)+1　　(7)
となります。この式は上の剰余定理と見比べると
　h(x)⇔x^n、f(x)⇔g(x)、C⇔n(x-1)+1
と対応していることが分かりますね。つまりx^nを(x-1)^2で割った余りはn(x-1)+1=nx-n+1となります。

noname#24477 · Answer

x^n－１＝（ｘ－１）（x^(n-1)＋x^(n-2)＋・・・＋１）
ここでf(x)＝（x^(n-1)＋x^(n-2)＋・・・＋１）
とおくと
ｆ（１）＝ｎ　だからｆ（ｘ）＝（ｘ－１）ｇ（ｘ）＋ｎ
これを最初の式に代入すると
x^n－１＝（ｘ－１）｛（ｘ－１）ｇ（ｘ）＋ｎ｝
中括弧を展開すると　（ｘ－１）^2ｇ（ｘ）＋ｎ（ｘ－１）
よって
x^n＝（ｘ－１）^2ｇ（ｘ）＋ｎ（ｘ－１）＋１
これを(x-1)^2で割れば前半部分は割り切れるから
余りはn(x-1)+1＝nx-n+1

n乗

＞整理すると、x^n-1=(x-1)(x-1)^2・g(x)+n(x-1)

この回答への補足

補足を要求する前に自分でまずよく考えましょう。

＃２のKENZOUです。

この回答への補足

補足に対してx^2-1=(x-1)(x+1)

ojamanboさんがすでに答えられていますので、以下はその補足の蛇足です。

この回答への補足

x^n－１＝（ｘ－１）（x^(n-1)＋x^(n-2)＋・・・＋１）

この回答への補足

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