微積分

1.lim(logx/x^3) (x→∞) の極限を求めるにはどうすればいいんでしょうか？logxを微分して1/xを使うような気がするんですけど、どうしたらいいかわかりません。よろしくお願いします。

2.∫(1/(1+sinx+cosx))dx はどうしたらいいですか？分母を置き換えて解こうと思ってもどうしていいか分かりません。 よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#20999 回答日時： 2005/07/23 14:32

補足します。

1. xが十分大きいときlogx/x^3<logx/xなのでlim(logx/x)(x→∞)について考えれば十分です。t=e^xとおくことによりlogx/x=t/e^tとなりますがこの極限は学校で習ったと思うので出来ると思います。
ただde L'Hospitalの定理を使うともっと楽です。

2. sinx,cosxの式の場合t=tan(x/2)とするのがうまいやり方で、sinx,cosx,dx/dtをすべて分母の等しいtの式に変えることが出来ます。覚えておくと良いでしょう。

この回答への補足

すいません。しばらく病気で学校を休んでいたので、ついていけてないのですが、答えまでを詳しくお願いできませんか？

補足日時：2005/07/23 14:37

No.4 回答者： kokkoro 回答日時： 2005/07/23 15:04

１については、証明して考えることができますが、とりあえず答えにいたるために、高校の授業や試験で使ってもよい「x→∞の時に、∞に向かう"強さ"は、対数関数(logx など) ＜ 多項式(x^5-2^x など) ＜ 指数関数(e^x, 2^x など)」を覚えておくといいと思います。

この問題では対数関数/多項式、という形なので、x→∞の時、∞に向かう"強さ"は多項式の方が強いです。ので、∞に弱く(遅く)向かう対数関数/∞に強く(早く)向かう多項式、は、0となります。（分母の方が早く∞にいくので、とても大きなxを考えた時、分子に対して分母はとてつもなく大きな数になっていくということです。）

この回答へのお礼

説明ありがとうございました。

お礼日時：2005/07/23 15:26

No.3 回答者： noname#20999 回答日時： 2005/07/23 14:34

t=e^xではなくx=e^tです。

申し訳ありません。

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2005/07/23 14:13

1. x=e^t と置き換える。

2. t=tan(x/2) と置き換える。

この回答への補足

どこをどういうふうにしていくのか詳しくお願いしますm(_ _)m

補足日時：2005/07/23 14:21