阪大2014年数学挑戦枠2問からです。とりあえず(1)だけお願いします。

要点だけ書くと素数を小さい方から並べて
　　p1, p2,…,pn,…
と表したとき、pn > n、p_1^n > nなので、nまでの自然数は、素因数分解するとp_1からp_nのn乗未満の積で表せることを利用し

　　∑(k=1→n)(1/k) = 1 + 1/2 + 1/3 + … +1/n ･････(1)

　　(1 + 1/p1 + … + 1/p1^n )(1 + 1/p2 + … + 1/p2^n )…(1 + 1/pn + … + 1/pn^n ) ･････(2)

という2つの式の大小を示すことです。(2)をうまい具合に展開して(1)が含まれることを確認したいのですが、その展開する方法がよくわかりません。

　テキストではわかりにくいので
https://imepic.jp/20240224/428770
に画像を貼りつけておきます。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/24 14:44

(2) = ( Σ[i1=1→n] 1/p1^i1 )( Σ[i2=1→n] 1/p2^i2 )…( Σ[in=1→n] 1/pn^in )

Σ の積を分配法則で展開すると、
i1=1→n, i2=1→n, …, in=1→n の各 (i1,i2,…,in) に対する
1/(p1^i1)(p2^i2)…(pn^in) という形の項が一度づつ現れる。
それを
(2) = Σ[i1=1→n, i2=1→n, …, in=1→n] 1/(p1^i1)(p2^i2)…(pn^in)
と書こう。

質問文中の説明のとおり
(p1^i1)(p2^i2)…(pn^in) は 1→n の自然数を全て含むため
(1) = Σ[k=1→n] 1/k は
(2) の項の一部を抜き出した和であり、
また、(2) の各項はどれも正値であるから、(2) > (1) である。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/24 19:12

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/02/24 12:10

展開するために、式(2)を次のように展開します：

(1 + 1/p1 + … + 1/p1^n )(1 + 1/p2 + … + 1/p2^n )…(1 + 1/pn + … + 1/pn^n )

各括弧の中を展開すると、各素数の逆数の和を考慮して、

= 1 + (1/p1 + 1/p2 + ... + 1/pn) + (1/p1^2 + ... + 1/pn^2) + ... + (1/p1^n * ... * 1/pn^n)

これは、各項が全ての異なる素数の逆数の積で表される値を含むため、それぞれの項は1/1から1/nまでの逆数の和になります。そして、これは式(1)と一致します。

この回答へのお礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。

お礼日時：2024/02/24 19:12