素数の無限この証明って

有限個って仮定したら
p1p2...pn ってかけるよね
これに１たした
(p1p2...pn+1)
は素数じゃないはずだけど+1のとこが
p1p2..pnのどれでも割り切れない
からこれも新しい素数になちゃて仮定に反するよね
だから仮定がまちがってたんだね

ってなるんですよね？だから素数の連続この積足す１が素数っていうのは別に成り立ちませんよね？

No.6 ベストアンサー 回答者： kmee 回答日時： 2023/12/28 12:05

ちょっと追記すると。

命題1:「
自然数n>0,有限集合Q={p1,p2,...,pn:pk は互いに異なる素数(連続である必要はない)}
とするとき、
P = p1・p2・...・pn + 1 とすると
Pは Qに含まれない素数である または PはQに含まれない素因数px を持つ
」
は真です。(証明は#4)


質問にあった文章では記述が不十分です、

(p1p2...pn+1)は「全ての素数p1,p2...pnのいずれでもないので」素数じゃないはず。
※ 素数ではない根拠

「素数じゃない(合成数)ならいずれかの素数で割り切れる」
※ 合成数の性質

だけど「(p1p2...pn+1)はp1p2..pnのどれで割っても割り切れずに1余る」(+1のとこがp1p2..pnのどれでも割り切れない)

新しい素数「または、p1p2..pnに含まれない新しい素因数を持つ合成数」になちゃて仮定に反する
※ (p1p2...pn+1)が素数かそうでないかは関係無い

No.5 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/12/26 19:12

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30031

最初の掛け算の数列にすべての素数が含まれているという前提を満たしていません。

この回答へのお礼

オウム返ししないでください。

お礼日時：2023/12/26 20:42

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2023/12/26 18:36

P = (p1p2...pn+1) として

「P は素数ではない」とは言えません。


確実に言えるのは「Pは自然数」ということだけ。
次に言えるのは
(1) Pはp1,p2...pn のいずれとも異なる
(2) Pはp1,p2...pn のいずれも約数に持たない
の2つ。

Pは自然数なので、素数か合成数かのどちらかになる。
Pが素数だとしたら、(1) から p1～pnに含まれない素数となる。
Pが合成数なら素数pxと1でない自然数mを使って px・m と書けるが、(2)より px は p1～pnのいずれでもない。

Pが素数でも合成数でも、p1～pnにない素数が存在することになる。

No.3 回答者： tantanm 回答日時： 2023/12/26 17:52

No.2の回答者です．

お～
たしかにその通りですね．ありがとうございます．

回答２の最後の文は，
(p1p2...pn +1) は，pnよりも大きな「新しい素数」または「新しい素数による合成数」である．
ということでしょうか．

この背理法は
「pn よりも大きな素数ができる」ということが論点で，気づきませんでした．ありがとうございました．

No.2 回答者： tantanm 回答日時： 2023/12/26 16:34

>素数の連続この積足す１が素数っていうのは別に成り立ちませんよね？

成り立ちます．
以下は全て明らかなことですよね．

(p1p2...pn +1) は，p1~Pnのどれでも割ることはできない．
したがって，
p1~Pnが Pn 以下の ”全ての"素数を含んでいるならば，
(p1p2...pn +1) は，pnよりも大きな 新しい素数である．

この回答へのお礼

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 59 × 509 = 30031

お礼日時：2023/12/26 16:59

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/12/26 13:53

(p1p2...pn+1)/pk=(p1p2...pn)/pk + 1/pk∉Z ∀ｋ 1<k≼n

です。

この回答へのお礼

わかんない。

お礼日時：2023/12/26 16:07