環論の素元について

一意分解環Aとその可逆元全体の集合A'について、
(1)Aの相異なる素元p1,…,pnは互いに素である
(2)任意の元a∈Aとu∈A'に対して、非負整数m1,…,mnとAの素元p1,…,pnを用いて a=up1^m1p2^m2…pn^mnと表せる 以上二つの証明について、ご教授頂きたく質問させて頂きました。 何卒よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます
  改めて考え直してみて、確かにと思ったのですが、
  互いに同伴でない素元p1,…,pnって存在するのか？という疑問が残りました。存在の証明てできますか？？

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/10 22:38

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/09 19:11

(1)

A が一意分解環なので、pi, pj (i≠j) の素元分解は一意であり、
pi=(ui)(pi)^1, pj=(uj)(pj)^1, ui,uj∈A' 以外にはありません。
よって、pi, pj の公約数は　ui, uj の公約数であり、A’の元です。
それって、pi, pj の最大公約数が 1 ってことですよね。
すなわち、pi, pj は互いに素です。

(2)
ダウト。
反例： A が有理整数環、n=3, p1=2, p2=3, p3=5 とき、
　　　x=7 はそのように書けません。(笑

p1, p2, p3, ..., pn というのを n=∞ も含めて考えるとか、
A に素元が有限個しかない場合を考えているのだというのなら、
証明は「Aが一意分解環であることより自明」です。
一意分解環の定義を確認してみましょう。

この回答へのお礼

皆様も回答ありがとうございました。
もう一度定義など見返してみます

お礼日時：2022/05/14 13:07

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/11 06:08

なんか混乱してるような....

「互いに同伴でない素元p1,…,pnって存在するのか？」って, 存在しなくても特に問題ないよね.

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/11 03:52

相異なる素数は互いに同伴ではありません

2,3は互いに同伴ではありません
2,5 は互いに同伴ではありません
3,5 は互いに同伴ではありません
2,3,5,7 は互いに同伴ではありません

-2は素数でない素元
2,-2 が互いに同伴なのです
3,-3が互いに同伴なのです
5,-5が互いに同伴なのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/09 19:38

(1)

Aの互いに同伴でない素元p1,…,pnは互いに素である
と
すべき

(2)
任意の元a∈A
に対して
a=up1^m1p2^m2…pn^mn
と
なるような
u∈A'
と
非負整数m1,…,mn
と
Aの素元p1,…,pn
が
存在する
と
すべき

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/09 16:44

整域Aの零元でも単元でもない元xがいずれも

x=p1p2…pn
のようにAの有限個の既約元の積として書くことができて,その表示が一意であるとき
Aは一意分解環であるという

整域が一意分解環となるのは、
その零元でも単元でもない任意の元が A の素元の積の形に書けるときである

a,bの公約数が単元だけであるとき
aとbは互いに素という

Aの元pは0でも単元でもなく
Aのある元aとbに対して
pがabを割り切るときには
pがaを割り切るか
pがbを割り切るとき
pはAの素元という

素数とは,2以上の自然数で,正の約数が1と自分自身だけであるもののことである

(1)
A=Z=(整数環)とする
2は素数で素元
-2は素数ではないけれども素元である

2
と
-2
は
異なる素元だけれども
互いに素ではない同伴である

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/09 04:07

「一意分解環」や「互いに素」を定義してくれ.