不定方程式 7x + 6y = n が 6 個の自然数解を持つような最小の自然数 n を求めなさい。
7*1 + 6(-1) = 1
なので、
7n + 6(-n) = n …… (1)
7x + 6y = n …… (2)
(2)-(1)
7(x-n) + 6(y+n) = 0
7x + 6y = n
整数解は、kを任意の整数とすると
x = -6k + n
y = 7k - n
この解が自然数解になる条件は、
-6k + n > 0 かつ 7k - n > 0
∴6k < n < 7k
ここからどうすればいいのかわかりません。それともこの方法じゃまずいですか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
x = -6k + n
y = 7k - n
この解が自然数解になる条件は、
-6k + n ≧ 1 かつ 7k - n ≧1
n-1≧6k かつ 7k≧n+1
(n-1)/6≧k かつ k≧(n+1)/7
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して
(n+1)/7≦k<k+1<k+2<k+3<k+4<k+5≦(n-1)/6
ならば
(n-6k,7k-n)
(n-6(k+1),7(k+1)-n)
(n-6(k+2),7(k+2)-n)
(n-6(k+3),7(k+3)-n)
(n-6(k+4),7(k+4)-n)
(n-6(k+5),7(k+5)-n)
の
6個の自然数解を持つから
(n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
↓各辺に42をかけると
6n+6≦42k<42k+210≦7n-7
6n+6≦42k
と
42k+210≦7n-7
を
加えると
6n+6+42k+210≦7n-7+42k
↓両辺に7-6n-42kを加えると
223≦n
∴最小のnは
n=223
No.2
- 回答日時:
x = -6k + n
y = 7k - n
この解が自然数解になる条件は、
-6k + n ≧ 1 かつ 7k - n ≧1
n-1≧6k かつ 7k≧n+1
(n-1)/6≧k かつ k≧(n+1)/7
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6
(n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して
(n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
↓各辺に42をかけると
6n+6≦42k<42k+210≦7n-7
6n+6≦42k
と
42k+21≦7n-7
を
加えると
6n+6+42k+210≦7n-7+42k
↓両辺に7-6n-42kを加えると
223≦n
∴最小のnは
n=223
No.1
- 回答日時:
6個の自然数解と言うのは(x,y)の事だから、nは7と6の公倍数です。
つまり、nは42の倍数。
候補はn=42,84,126・・・・。
順番に7x+6y=42を解いて、次に 7x+6y=42を解いて・・・・。
こうやって順にやれば答に辿り着きます。
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No2 さんの回答に質問です。
> (n+1)/7≦k≦(n-1)/6となる最小のkに対して
> (n+1)/7≦k<k+5≦(n-1)/6
上の式に挿入した k+5 はどんな理由ですか?