df(x)/dx=f(x)の解はf(x)=Ae^xのみ。どうやって証明される?

df(x)/dx=f(x)の解はf(x)=Ae^xのみ。どうやって証明される?
f(x)=Ae^xは解の一つであるが、解がそれだけになる理由がわからない。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/08 18:59

一階正規形線型微分方程式の解の存在定理を使ってもいいけれど、

そんなことするまでもなく、 (1/f(x))(df(x)/dx) = 1 を不定積分すれば
f(x) = Ae^x しか出てきませんよね。だから、他の解は無い。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/08 18:02

f(x)/e^xを微分したものが0になるから。

f(x)/e^x＝A（定数）

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2023/02/08 18:01

微分方程式の解の存在と一意性、くらいで検索すればいくつか証明までしているサイトがあります。

そちらを見てください。