２次不等式の解の答え方について

Question

先日、２次不等式（ x - 3 )^2 > 0 の解を巡って議論になりました。この解は、教科書には、３　以外のすべての実数、と出ています。これを、 x < 3 , 3 < x と答えてもいいだろうか？と１人が問い、上の解より１歩手前、という感じだが、まあいいんじゃない、と１人が答えました。もう1人(私）が、 x ≠ 3 ( x ノットイコール　3) でもいいですね、と言うと、そらあかん、と２人が言うのです。 x ≠ 3である実数、と答えるならいいが、 x ≠ 3　だけならダメだ。私は、実数は、x < 3 , x = 3 , x > 3 の３つの場合しかなく、 x ≠ 3　は、 x < 3 , x > 3 と同値と考えているので、２人の意見にまったく納得できませんでした。この事に関して、ぜひお教えくださいますよう、お願いします。

noname#24477 · Accepted Answer

＃３です。もう一度書かせてもらいます。
私は質問者の意見に賛成です。

「不等式を解け」というのは、この不等式を満たす実数ｘをすべて求めなさい。（集合として）
ということです。
再度言いますが全体集合は実数全体です。
実数全体というのが前提の問題です。
それ以外のときは問題文に全体集合は何かを断るべきです。
それを答に実数と書いてないから減点したらやりすぎです。
ｘ≠３のような表し方は集合として「集合｛ｘ｜ｘ＝３｝の補集合」
という意味としてとらえているわけで
何の問題もありません。
教科書などではそこまでくどくど解説するのは面倒なので
使っている教科書は少ないかも知れませんが、問題集
の解答例ならあると思います。
なお
x<3,3<x
のような表現は教科書でも普通に使われます。

式は文脈（問題）の中で考えるべきで同じ式でも
当然違う意味で使うこともあります。

stomachman · Answer

No.10への「お礼」についてコメントします。

(1) 論理式の読み方は、ご推察の通りです。すなわち、
∀x(x∈R ⇒ (x∈P ⇔（ x - 3 )^2 > 0)) 
は
『任意のxについて、もしxがRの要素ならば、「xはPの要素である」と「（ x - 3 )^2 > 0」とが同値である。』
と読みます。（論理学を学んでないのにこれを論理式だと認識したばかりか、読んでみようとなさった、というのは感心しました。そのうえ、結果が正解なんだから、こりゃすごいです。）

(2)
> 高校数学では、解がP={x | x∈R かつ (x＜3 または x＞3)} 
> のとき、単に　x＜3 または x＞3 
> という条件の部分だけを書き、x∈R は、書きません。 

本当にそう確言できるのなら、なんでこのご質問を投稿なさったのでしょうか。
というのも、もしそういうキマリならば、解が{x | xは実数 かつ x≠3} のとき、単にx≠3という条件の部分だけを書き、xは実数（x∈R） は、書かないのがキマリであるわけです。ならば、「x ≠ 3である実数、と答えるならいいが、 x ≠ 3だけならダメだ」という意見は（すなわち「{x | xは実数 かつ x≠3}は不正解で、{x | xは実数 かつ xはx≠3である実数}なら正解だ」という意味の意見ですから）直ちに却下できるでしょうに。

いや、やっぱりそうは確言できなくて意見が割れたからこそのご質問だと思います。

(3)
> 質問に挙げられた問題とは別の問題とおっしゃっていますが、よくわかりません。 

「別の問題」だと言うのは、二つ目の●以降の部分は設問が違うからです。すなわち、もしも（解を問う問題ではなく、）必要十分条件を問う問題だったとしたら、
x≠3
は全く文句のつけようがない答です。これを「x ≠ 3である実数」（つまり「x∈R ∧ x≠3」）と答えたのでは、「x∈R」の部分が冗長ですからね。

(4)
> （ x - 3 )^2 > 0　と「同値な、明示的かつ簡潔な条件を答えること」が、 
> 高校数学での「不等式の解を求めること」と理解しています。 

そりゃちょっと違うと思います。「解」と言ったら、やっぱり条件を満たすものの集合（であって、そしてそれ以外のものを含まない集合）と捉えるのが普通の解釈だと思います。たとえば実数xに関する二次方程式
(x-1)(x-2)=0
の解を
x=1,2
なんて書くのも
{1,2}（あるいは{x | x=1 ∨ x=2}でも良いですが。なお∨は「または」です。）
が正式であって、これは
∀x(x∈R ⇒ (x∈{1,2}⇔(x-1)(x-2)=0))
を意味します。個々の分野ごとに慣習的な略記法があり、
x=1,2
もまた略記に他ならないです。

　もうひとつ例を挙げましょう。たとえば実数xに関する二次方程式
x^2 + 1=0
の解は
「なし」
とやるでしょう。これは解が空集合だ、という意味です。
もしも仰るとおりx^2 + 1=0と「同値な、明示的かつ簡潔な条件を答える」のであれば
「偽」
ですぜ？


　ですから、ご質問の問題においても
「3以外の実数」
という答案は、
{x | xは3以外の実数｝
の略記とみなした訳です。で、そうすると
「x ≠ 3」
という答案の意味するところは、
{x | xはx ≠ 3｝
ということになっちゃって、これは集合ではない。

という結論になるわけですう～。

stomachman · Answer

xが実数であることを暗黙の前提にして、（ x - 3 )^2  > 0 の解は何かと尋ねられたら、x≠3だけ答えれば十分だろうというお話ですね。（複素数まで考えるのは穿ちすぎでしょう。複素数に＞で比較する大小関係は（特別に定義しない限り）ないですから。）

●ある条件を示して、その解と言ったときには、「解」とは、その条件を満たすものすべてを含み、そしてその条件を満たさないものを含まないような集合を指すのが普通です。
すると「（xが実数であることを暗黙の前提にして、）（ x - 3 )^2  > 0 の解は何か」とは
∀x(x∈R ⇒ (x∈P ⇔（ x - 3 )^2  > 0))　　（ただし、Rは全ての実数の集合）
となる集合Pは何かという問いと思える。（「全体集合」という概念だって、論理式で表現すればこうなると思います。はじめの「x∈R ⇒」の部分が「全体集合」を指定している訳です。）そうすると、
P={x | x∈R ∧ x≠3}
が正解でしょう。Pは「3でない全ての実数の集合」です。もちろん、
P={x | x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)}
も同じ集合を指しています。でも、んなこと言ったら
P={x | x∈R ∧ (x-3)^2＞0}
だって同じ集合を指すんで、「解」を上記の意味で解釈すれば、これだって解です。

でも、そこはそれ、ジョーシキとして、Pをなるべく明示的かつ簡潔に表現してよ、と解釈すると、
P={x | x∈R ∧ x≠3}
が一番適切な気がするけれど、
P={x | x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)}
も誤りにはできないでしょう。場合分けして考えたらこういう表現に到達してもおかしくないし。
でも、
P={x | x∈R ∧ (x-3)^2＞0}
と答えられたらどうか。まじめな出題者なら問題の文章表現がどうあるべきであったかシンコクに悩まなくてはならない。また不真面目不勉強な出題者なら単にバツを付けるんでしょうね。これは先生にしつこく質問していじめてみると面白い。（もちろん、受験テクニックの話としてなら、考えるまでもない、論外とされるでしょうけれど。）

さて、
∀x((x∈R ∧ x∈P) ⇔（ x - 3 )^2  > 0)))
となるPは何かという問いと思うなら
P={x | x≠3}
が正解と言いたいところですが、残念ながら{x | x≠3}は集合になっていません。
というのは、「あらゆるものの集合」という概念は成り立たない（矛盾を生じる）ことが知られてるんです。
このことから、「3ではないあらゆるものの集合」という概念もまた成り立たないだろうと、（証明なしでも）お分かりになると思います。

こういうゴタゴタを避けるためには、やっぱり、
「3でない全ての実数の集合」
と答えておくのが無難そうです。


●ところで、もし解を要求されたのではなく、
「（xが実数であることを暗黙の前提にして、）（ x - 3 )^2  > 0 の必要十分条件は何か」
と尋ねられたのであったら、
∀x(x∈R ⇒　(Q(x)⇔（ x - 3 )^2  > 0 )
となる述語Q(x)を要求されているんですから、
x≠3
x∈R ∧ x≠3
x＜3 ∨ x＞3
x∈R ∧ (x＜3 ∨ x＞3)
(x-3)^2＞0
x∈R ∧ (x-3)^2＞0
はいずれも正しいでしょう。ほかにもたとえば
x∈R ∧ x≠3 ∧ 1+1=2
だって良いわけです。で、ここでもジョーシキとして、なるべく明示的かつ簡潔に表現してよ、と解釈すれば、最も簡潔なのは
x≠3
でしょう。もちろんこれは、ご質問に挙げられた問題とは別の問題の答ですが。

kater_kurz · Answer

追記

ですから、
「二次方程式x^2=4の解を求めよ」
という問題に対して、
「x=±2」
と解答するのは、値を訊かれているのに条件を答えているので厳密に言えば間違いです。
単に
「±2」
とこたえるか、
どうしてもxを入れたければコロンを使って、
「x:±2」
と答えるべきでしょう。

kater_kurz · Answer

ちょっと別の観点から。数学に限らず全ての教科に言えることですが、解答の形式は問題の形式に合わせる必要があります。つまり、“訊かれたことに答えなければいけない”のです。例えば「（ x - 3 )^2 > 0　の解を求めよ」…イという問題だったとすれば、訊かれているのは“解”すなわち“値”です。「（ x - 3 )^2 > 0　を充たす全てのxを求めよ」…ロだった場合も、xという“値”を訊かれています。一方、「（ x - 3 )^2 > 0　を充たすxの条件を求めよ」…ハだった場合はどうでしょうか？このとき訊かれているのは“値”ではなく“条件”です。では、どのような答えが“値”でどのような答えが“条件”かといいますと… 「３以外のすべての実数」…あこれは“値”(の集合)です。記号で書くならば、「｛x｜x∈R,x≠3｝」…いとなります。「｛x｜x∈R,x<3,3>x｝」…う　と書いても同じことです。(うの書き方には異論があるかも知れませんが) あ、い、うといった解答はイ、ロに対する解答としては適ですが、ハに対する解答としては不適です。一方、「x<3,3>x」…えは「xは3より小さいか、または、3より大きい」「x≠3」…おは「xは３でない」という意味であり、いずれも“値”ではなく“条件”です。よって、え、おのような答えはハに対する解答としては適ですが、イ、ロに対する解答としては不適です。では、値を訊かれているのか条件を訊かれているのか判らない場合、例えば「二次不等式（ x - 3 )^2 > 0　を解け」といった場合はどうでしょうか？「『解け』というのは『４＋３を解け』と一緒で『簡単にせよ』という意味である。」と考えるならば、「x<3,3>x」または「x≠3」と解答すれば良いことになります。しかし、一般には、解答のほうで、解答の形式を明示するのがより安全でしょう。例１　同値性を主張する場合「（ x - 3 )^2 > 0　⇔　x<3,3>x」或いは「（ x - 3 )^2 > 0　⇔　x≠3」例２　値を示す場合「与不等式を充たすxは3以外の全ての実数である」或いは「与不等式の解は｛x|x≠3｝例３　条件を示す場合「xが与不等式を充たす条件はx≠3」「xが与不等式を充たす条件はx<3,3>x」～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～高校数学では、特に記述がない限り実数の範囲で考えるのが普通です。特に今回は不等式の問題ですから実数であることを示す必要はないと思います。ただし、「xは３以外の数」というのはダメです。「数」と書いてしまうと実数以外の数を含むニュアンスが出てしまいます。～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～手元に資料がないので確認はできませんでしたが、「解」は普通方程式の根のことなので、不等式を充たす数のことを「解」と呼ぶことをには個人的に違和感があります。

march4 · Answer

おはようございます。
私もこの問題について考えてみました。

・X＜３、３＜Xの解釈
---変数Ｘは、３より小さい実数と３より大きい実数の任意の値をとる。・・・★１

・X≠３　の解釈
---変数Ｘは３にはならない（３ではない）。・・・★２

と私は思っています。
★１と★２では意味が異なります。
★１は、言い換えるなら、
「Ｘは３以外の任意の実数をとる」
です。

★２は、
「少なくとも、Ｘが３にはならないことは、わかったが、そのＸが実数なのか虚数なのか、また、３より大きい値になるのか、３より小さい値になるのかはわかっていない。」
といったように解釈できると思うのですが、どうでしょうか。

例として、方程式の両辺をある文字（例えば、aとします）で割るとき、「a≠０なので」といったように、文字で割る時は文字が０でないことを示してから、初めて割ることが許されます。
この「a≠０なので」とは、「aは０以外のすべての任意の実数なので」とは必ずしも言ってはいないのです。
「少なくとも、a≠０なので」という言い方だと思います。
その意味で、★１と★２では、意味が異なると思うのです。
いかがでしょうか。

tamagawa49 · Answer

私は次のように考えています。
「3以外のすべての実数」と「x < 3 , 3 < x」
は同じ意味なのでどちらも正解。

それに対し、
「x ≠ 3 」
は解が3で“ない”と言う事を示しているだけで、何で“ある”かを示していないのでダメと思っています。

補足すると例えば方程式などで解が１と３だったとします。それに対し１と３を答えるのではなく、２ではない、５ではない、と違う例を挙げても正解にならないのと一緒です。

従って正解は「3でない」ではなく、「3以外のすべての実数」と答えるのが正解だと思います。

Rossana · Answer

どの表記でも同じようなことを言えているという点では正解だと思います.
大事なことは,その表記で見た人に重要なことをいかに伝えるかってことだと思います.
個人的な意見としては,
「任意の実数」という言葉は入れた方が分かりやすい気がします.
ただ一つ言えることは僕が生きてきた中で
この問題の解を
　x<3,3<xあるいはx≠3
としているような表現は見た事がありません.
僕は「すべての」あるいは「任意の」という言葉は外さない方がいいと思います.

noname#24477 · Answer

x<3,3<x
xは３以外の実数
x≠３

どれでも良いと思います。
（個人的には１番上の書き方が好きですが、簡単に表記するときはｘ≠３も使います）

そもそも不等式を考える場合虚数を考えては
いません。実数のみである（その他整数とかの場合にはことわりを入れる）ことは前提です。
そのことを分かって答えているのなら、
それにいちゃもんを付けるのは揚げ足とりの
ようなものです。
教科書はいちゃもんを付けられることには弱いからね。

x^2<0　に対して「解なし」もだめと言うんでしょうか？
（厳密には「実数ｘは存在しない」ではありますが）

しかし、そういうことを議論するのは数学が好きなのかなと感じ、好ましくも思えます。

kony0 · Answer

「ｘ≠３」だけではだめなのは#1さんのとおりですが、
私は「ｘ≠３である実数」でも若干不十分と考えます。
なんか必要条件しか言えていないように思えるのです。

「ｘ≠３である“任意の”実数」のほうがよくないですか？

２次不等式の解の答え方について

＃３です。

この回答への補足

No.10への「お礼」についてコメントします。

この回答への補足

xが実数であることを暗黙の前提にして、（ x - 3 )^2 > 0 の解は何かと尋ねられたら、x≠3だけ答えれば十分だろうというお話ですね。

追記

ちょっと別の観点から。

おはようございます。

この回答への補足

私は次のように考えています。

どの表記でも同じようなことを言えているという点では正解だと思います.

x<3,3<x

この回答への補足

「ｘ≠３」だけではだめなのは#1さんのとおりですが、

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