解法を教えてください！

Question

2次方程式(ｋ+8)ｘ²-6ｘ+ｋ=0が異なる2つの実数解をもつような
 最小の整数ｋの値を求めよ。

解答にはｋ=-7と書いてありましたが、どうしてそうなるのか分かりません。

よろしくお願いします。

katiguse07 · Accepted Answer

２次方程式が異なる２つの実数解を持つとき、

判別式という式を使って、

D　= b^2 - 4ac

これが０より大きければ２つの実数解を持つということになりますよね

これを計算すると、３６ー４（k＋８）・k　＝　３６ー４k＾２ー３２k
整理して、-４k＾２-３２k＋３６ということになります。
頭にーがついていることに注意できるかどうかがケアレスミスをしない鍵ですね。
４で全部割れますから-k＾２ー８k＋９ですね。

これが０より大きい必要がありますから、

-k^2-8k+9　> 0 という式が成り立ちます。
ーを打ち消し。
k^2+8k-9<0
(k+9)(k-1)<0

この式の、kの値を求めます。

k = -9,1となりました。

よって、　　-9 < k < 1
kが上の範囲を満たしてくれていれば、晴れて２次方程式は
２つの解をもつことになります。

そのうちの最小のKの値ですから、

あれれ～？　ー８のような気がしますね。何か条件が抜けているのでしょうか。

とここでご注意。k＝ー８だとどうなりますか？

上の２次方程式、の、x^2の係数が０になってしまいます。

これでは、２つの異なる実数解を持ちたくても、絶対にもてません。

だから、ー８であってはだめなのです。

こたえはさらにそれより上の整数である、ー７が答えです。

係数の関係にきづくことができるかどうか、という問題だと思います。

xが２乗だからこそ２つの解があるんだよ。ということがわかっているかどうかを

確認することのできるいい問題だとおもいます。

chie65535 · Answer

ａＸ^2＋ｂＸ＋ｃ＝０の判別式b^2-４ａｃが０より大きいなら、方程式は異なる二つの実数解を持つ。

(ｋ+8)ｘ^2-6ｘ+ｋの判定式は、-6^2-4(k+8)kであるので、-6^2-4(k+8)k＞0となる、最小の整数kを求める。

36-4k^2-32k＞0
-4k^2-32k+36＞0
4k^2+32k-36＜0
4(k^2+8k-9)＜0
4(k^2+8k-9)＜0
4(k-1)(k+9)＜0
(k-1)(k+9)＜0

-9＜k＜1の時、-6^2-4(k+8)k＞0。

-9＜k＜1の最小の整数はk=-8。

しかし、k=-8だと(ｋ+8)ｘ^2-6ｘ+ｋ=0の式の「(k+8)」が0となるので、解は１つになってしまい「異なる2つの実数解をもつ」と言う条件を満たさない。

従って、-8よりも大きい最小の整数-7が答え。

２次方程式が異なる２つの実数解を持つとき、