答えを教えて

森博嗣「笑わない数学者」の中に出てくる問題なのですが、
本文をそのまま書きます。
「５つのビリヤードの球を真珠のネックレスのようにリングにつなげてみるとしよう。たまには、それぞれナンバーが書いてあるな。さて、この五つの球のうち、いくつとってもよいが、隣同士連続したものしかとれないとしよう。一つでも、２つでも、五つ全部でもよい。しかし、一つでも離れているものはとれない。この条件でとった球のナンバーを足し合わせて、１から２１までのすべての数ができるようにしたい。さあ、どのナンバーをどのように並べて、ネックレスを作ればいいかな？」

いろいろやってみたんですけどできないです。（そんなはずはないが）
さらに、後文に「問題の球の数が４つでも成立する。では、６個ではどうかn個ではどうか」とも書かれていました。
ということで一般項も知りたいです。

自分なりに考えたんですけどまず１は必ずいりますよね。
あと５つの総和が２１以上であること。
１のとなりに１が隣り合うか、もしくわ２が必要ですよね
ということで残り３つを決めればいいのですが中々うまくいきません。
数学の問題というよりは算数及びクイズ的なものですが教えてください。

No.5 ベストアンサー 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/04/12 03:47

「論理的に求まる」というのは、ちょっと言い過ぎたかもしれません。

できるだけ可能性を絞り込めば、試行錯誤は意外に少なくて済む、という意味です。
「n個の場合」に使えるような一般的な方法を見つけた、という訳では
ありませんので、あしからず。

まず、「ネックレスの5個の球から隣り合うものだけを取り出す方法」自体が
ちょうど21通りありますから、
「取り方」と「できる数字の和」とは一対一に対応しなければなりません。すなわち、
■取り方が違うのに和か同じになってしまうような無駄が見つかったら、
その時点でその並べ方は「アウト」です(最重要)。
同じ数字の球が入っていると無駄が生じるので、それもありえません。
■5個の球の数字の和はちょうど21のはずです。
21より大きい和を作る余裕は無いからです。
■1の球と2の球は絶対に必要です。
これらは他の球の数の和では作れないからです。
そこで、残りの3つの組合せを考えればよく、
■「すべて3以上の整数の組で、互いに異なり、和は18である」
というのが最低条件です。そして、
■「3の球も4の球も使わない」というのは不可能です。
和4が作れなくなってしまうからです。

これだけのことを考えると、使う球の組合せの可能性は次の6通りに絞られます。

(ア)1-2-3-4-11
(イ)1-2-3-5-10
(ウ)1-2-3-6-9
(エ)1-2-3-7-8
(オ)1-2-4-5-9
(カ)1-2-4-6-8

(ア)1-2-3-4-11
1が2と隣り合ってしまっては和が3になり、3の球があるので無駄が生じます。
同様に1は3と隣り合うこともできません。
したがって、1の両隣りには4と11が来ることになり、
空いたところに2と3が隣り合って入るしかありません。
すると、5の作り方が2通りできてしまう(1+4と2+3)のでダメです。

これと全く同じ手順で排除できるのが、(エ)(オ)(カ)です。

(エ)1-2-3-7-8
1は2と隣り合うことも7と隣り合うことも許されません。
したがって1の両隣りは3と8が来て、
空いたところに2と7が隣り合って入るしかありません。
すると9の作り方が2通りできてしまう(1+8と2+7)のでダメです。

(オ)1-2-4-5-9
4は1と隣り合うことも5と隣り合うことも許されません。
したがって4の両隣りは2と9が来て、
空いたところに1と5が隣り合って入るしかありません。
すると6の作り方が2通りできてしまう(2+4と1+5)のでダメです。

(カ)1-2-4-6-8
2は4と隣り合うことも6と隣り合うことも許されません。
したがって2の両隣りは1と8が来て、
空いたところに4と6が隣り合って入るしかありません。
すると10の作り方が2通りできてしまう(2+8と4+6)のでダメです。

さらに、(ウ)も次のように除外できます。

(ウ)1-2-3-6-9
1と2は隣り合ってはいけませんから、両者を離して配置すると、その間に空席が1つ(Aとします)、反対側に空席が2つ生じます。Aには3,6,9のいずれも入ることはできません。なぜなら、3が入れば「1+3+2=6」となり、6が入れば「1+6+2=9」となり、9が入れば反対側の空席に3と6が隣り合って「3+6=9」となるので、それぞれ無駄が生じるからです。

残るは(イ)です。
(イ)1-2-3-5-10
2は1と隣り合うことも3と隣り合うことも許されません。
したがって2の両隣りは5と10が来て、
空いたところに1と3が隣り合って入るしかありません。
3を5の側に置くと、「3+5+2=10」となりダメです。
したがって、「1-5-2-10-3」の場合だけが残ります。
そして、この配置で和を作ると全ての数が作れることが分かります。
したがって、この配置が「唯一の答」ということになります。

こういうのを「理由」として期待されていたわけではないかもしれませんね。
もしそうだったらごめんなさい。

hinebotさんへ
私はビリヤードはあまり詳しくないのですが
(初めてやったときあまりに下手だったのでやめてしまった)
確か15個くらい使って行なうゲームがあったような気がします。
なかなか心臓に悪いツッコミでした(^^;)

この回答への補足

わかりやすい解説ありがとうございました。
いわれてみると簡単ですね。
こういう複雑そうに見える問題（私には見える）を簡単そうに見せる
テクニックというか発想というものを身につけたいです。

補足日時：2002/04/12 15:32

No.8 回答者： mozniac 回答日時： 2002/04/13 21:13

zabuzaburoさんのおっしゃる通り、

玉１個の選び方が５通り、２個３個４個の場合も５通りづつで、５個の場合が１通り、すなわち５つの玉の選び方が２１通り。というわけで、すべて異なる合計21になる５個の数字を見つければいいわけです。
このように考えれば、n個のときもやり方が見つかる？そんなに甘くはないようですね（笑）。
ちなみにこれ、'95算数オリンピックのトライアルの問題です。小学生でも解ける問題ということで、大人も頑張らないと！ですね。

No.7 回答者： guiter 回答日時： 2002/04/12 10:41

基本的には zabuzaburo さんと同じやり方で解きましたが、

４個の場合、
　1-2-6-4
　1-3-2-7
の２通りがあります。

５個の場合は zabuzaburo さんが書かれているように
「1-5-2-10-3」の場合だけでした。

また、６個の場合には
　1-3-6-2-5-14
　1-3-2-7-8-10
　1-2-7-4-12-5
といったものが見つかりました。
（６個は数え落としがあるかもしれません）


このように、球の個数によって解の個数が異なるので
一般解はなかなか難しいのかもしれません。

No.6 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/12 08:53

>hinebotさんへ

>私はビリヤードはあまり詳しくないのですが
>(初めてやったときあまりに下手だったのでやめてしまった)
>確か15個くらい使って行なうゲームがあったような気がします。
>なかなか心臓に悪いツッコミでした(^^;)

変なツッコミをしてしまい、申し訳ありません。
ビリヤードというとナインボールしか知らなかったので（汗）
ちょっと調べてみたところ、確かに的球は15まであるようです。
ですので、問題はなかったですね。失礼致しました。

No.4 回答者： noname#6248 回答日時： 2002/04/11 22:00

解けました、１－３－１０－２－５です。

答えあわせしてみてください。。。一般解は。。。勘弁してください。。。

No.3 回答者： hinebot 回答日時： 2002/04/11 21:56

zabuzaburoさんへ

それじゃ駄目なんじゃないでしょうか。
「1,3,10,2,5」で確かに隣り合う数字を組み合わせて１～２１まで作れますが、ビリヤードの球に１０ってありましたっけ？
確か、９が最大と思うのですが…。

No.2 回答者： zabuzaburo 回答日時： 2002/04/11 21:45

1,3,10,2,5でどうでしょう？

けっこう論理的に答えは出ますので
必要ならば解説します。

この回答への補足

答えは書きながらやったら理由はわかりませんができました。
理由を教えて下さい。

補足日時：2002/04/12 00:28

No.1 回答者： noname#6248 回答日時： 2002/04/11 21:40

頭をひねってみました…

３つ＝１－２－４＝１～７まで全て

４つ＝１－３－２－７＝１～１３まで全て

です。
隣り合うならばいくつでも取って良いと言う場合の取り方組み合わせは
３つ＝７通り、４つ＝１３通りです。

そうすると５＝２１通りなので、１と２は必ず存在して残り３つとの合計が２１になる組み合わせになりそうです。
１＋２＋Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝２１です。
もう少し悩んでみます。。。