場合の数、確率 49 (東大文系過去問）

本題

まずは、｢碁石がどのように並んでも｣。
つまり、白石180個黒石181個全て使った並び方を全部考えます。

次に条件を確認します。
｢その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数になる。
ただし、碁石が一つも残らない場合も同数とみなす。｣
その黒の碁石とは、この条件を満たす少なくとも一つあると言われている黒の碁石のこと
この、｢その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと、残りは白石と黒石が同数になる。｣
は、言い換えると｢その黒の碁石より右にある碁石をすべて除くと、[残った黒石の数]は[残った白石の数＋1]になる。｣

難しく言ってますが、用は本文で｢白石と黒石が同数になる｣と言われていたグループに、少なくとも一つあるとかなんとか言われている黒石も入れると、白石より黒石が1個多くなる

ここまで考えてみましたが

次に進みません

教えて下さい

何卒宜しくお願い致します。

以下問題

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https://imgur.com/a/HmAhh03

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質問者からの補足コメント

• 

  感想と評価
  
  言葉で幾ら説明しても、それが正しい証明になっているのか
  確証の持てない問題である
  
  今回は『同数=差』ということに着目して、折れ線グラフで対応した(視覚化)
  
  差は折れ線グラフで視覚化
  
  再度確認した問題だった
  
  以下答案
  
  _________________________________________
  
  https://imgur.com/a/Ns3NaVQ
  
  _______________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/08/25 20:06

• 

  補足
  
  感想と評価
  
  言葉で幾ら説明しても、それが正しい証明になっているのか
  確証の持てない問題である
  
  今回は『同数=差』ということに着目して、折れ線グラフで対応した(視覚化)
  
  差は折れ線グラフで視覚化
  
  再度確認した問題だった
  
  以下答案
  
  _________________________________________
  
  https://imgur.com/a/Ns3NaVQ
  
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  from minamino

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/08/25 20:07

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/30 16:29

白色180個と黒色181個の合わせて361個の碁石が横1列に並んでいる.

碁石がどのように並んでいても,
次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは白石と黒石が同数になる
ただし碁石が1つも残らない場合も同数とみなす

条件を満たす黒の碁石が
左から黒だけ数えて黒のk個目だとすると
その黒の碁石よりも左にある黒石はk-1個あるから
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りの黒石はk-1個で
白石と黒石が同数だから
白石もk-1個
合計2(k-1)=2k-2個だから
条件を満たす黒の碁石は左から白黒両方数えて
2k-2+1=2k-1個目
にある

逆に
左から黒だけ数えて黒のk個目が
左から白黒両方数えて
2k-1個目
にあるとすると
その黒の碁石よりも左にある黒石はk-1個あるから
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りの黒石はk-1個
残りの白黒合計は2k-2個だから
残りの白石は2k-2-(k-1)=k-1個となって
残りは白石k-1個と黒石k-1個が同数になるから

左から黒だけ数えて黒のk個目が左から白黒両方数えて2k-1個目にあるようなkが存在する事を証明すればよい

1≦k≦181となるすべての自然数kに対して
黒k個目が左から白黒両方数えて2k-1個目にはないと仮定する

黒k=1個目が左から白黒両方数えて2k-1=1個目にはないから
黒k=1個目は左から白黒両方数えて2k=2個目以上

黒k=2個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=3個目以上
黒k=2個目は左から白黒両方数えて2k-1=3個目にはないから
黒k=2個目は左から白黒両方数えて2k=4個目以上

黒k=3個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=5個目以上
黒k=3個目は左から白黒両方数えて2k-1=5個目にはないから
黒k=3個目は左から白黒両方数えて2k=6個目以上

…k=4～178まで以下endloopまで繰り返す
黒k個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1個目以上
黒k個目は左から白黒両方数えて2k-1個目にはないから
黒k個目は左から白黒両方数えて2k個目以上
…endloop

黒k=179個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=357個目以上
黒k=179個目は左から白黒両方数えて2k-1=357個目にはないから
黒k=179個目は左から白黒両方数えて2k=358個目以上

黒k=180個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=359個目以上
黒k=180個目は左から白黒両方数えて2k-1=359個目にはないから
黒k=180個目は左から白黒両方数えて2k=360個目以上

黒k=181個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=361個目以上
黒k=181個目は左から白黒両方数えて2(k-1)+1=2k-1=361個目
黒k=181個目は左から白黒両方数えて2k-1=361個目にはない事に矛盾するから

黒k番目が白黒両方数えて2k-1番目になるkが存在する

No.7 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/08/31 09:44

左から順に１個ずつ数えるとして、黒石が１個多い状態であれば、その黒石より左の黒石と白石の数は同数になる。

黒石と白石の差の増減は必ず１単位で発生する。
ここで条件に反する並び順を考えてみる。
左端の石は白石である。なぜならそれが黒石であればその左は白石も黒石も０個であり条件を満たしてしまう。
また右端も白石である。なぜならそれが黒石であればその左には白石も黒石も１８０個で同数となり条件を満たしてしまう。
一番左が白石なので一番左の黒石の左には１個以上の白石と０個の黒石があることになる。
一番右にある黒石の左には１７９個以下の白石と１８０個の黒石があることになる。
一番左の黒石の左は白石が１個以上多く、一番右の黒石の左は黒石が１個以上多くなる。
黒石と白石の差の増減は１個単位でしか変化しないので、一番左の黒石と一番右の黒石との間のどこかで必ずその差が０になってしまう。
したがって、条件に反する並び順は存在しないので、必ずその左側の白石と黒石が同数になる黒石が存在する。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/09/03 08:45

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/29 11:10

白色180個と黒色181個の合わせて361個の碁石が横1列に並んでいる.

碁石がどのように並んでいても,
次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは白石と黒石が同数になる
ただし碁石が1つも残らない場合も同数とみなす

以下の場合の全2k-1番目の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、残りは白石と黒石が同数になる

黒k=1番目が全2k-1=1番目の場合
●…m(1)=1
黒k=2番目が全2k-1=3番目の場合
〇●●…m(1)=2,m(2)=3
黒k=3番目が全2k-1=5番目の場合
〇●〇●●…m(1)=2,m(2)=4,m(3)=5
〇〇●●●…m(1)=3,m(2)=4,m(3)=5
黒k=4番目が全2k-1=7番目の場合
〇●〇●〇●●…m(1)=2,m(2)=4,m(3)=6,m(4)=7
〇●〇〇●●●…m(1)=2,m(2)=5,m(3)=6,m(4)=7
〇〇●●〇●●…m(1)=3,m(2)=4,m(3)=6,m(4)=7
〇〇●〇●●●…m(1)=3,m(2)=5,m(3)=6,m(4)=7
黒k=5番目が全2k-1=9番目の場合m(5)=9
〇●〇●〇●〇●●…m(1)=2,m(2)=4,m(3)=6,m(4)=8,m(5)=9
〇●〇●〇〇●●●…m(1)=2,m(2)=4,m(3)=7,m(4)=8,m(5)=9
〇●〇〇●●〇●●…m(1)=2,m(2)=5,m(3)=6,m(4)=8,m(5)=9
〇●〇〇●〇●●●…m(1)=2,m(2)=5,m(3)=7,m(4)=8,m(5)=9
〇〇●●〇●〇●●…m(1)=3,m(2)=4,m(3)=6,m(4)=8,m(5)=9
〇〇●●〇〇●●●…m(1)=3,m(2)=4,m(3)=7,m(4)=8,m(5)=9
〇〇●〇●●〇●●…m(1)=3,m(2)=5,m(3)=6,m(4)=8,m(5)=9
〇〇●〇●〇●●●…m(1)=3,m(2)=5,m(3)=7,m(4)=8,m(5)=9
…
だから
黒k番目が全2k-1番目になるkが存在する事を証明すればよい

1≦n≦181となるすべてのnに対して
黒n番目が全2n-1番目でないと仮定する

黒k=1番目が全2k-1=1番目でないから
黒k=1番目は全2k=2番目以上

黒k=2番目は全2(k-1)+1=3番目以上
黒k=2番目は全2k-1=3番目でないから
黒k=2番目は全2k=4番目以上

黒k=3番目は全2(k-1)+1=5番目以上
黒k=3番目は全2k-1=5番目でないから
黒k=3番目は全2k=6番目以上

黒k=4番目は全2(k-1)+1=7番目以上
黒k=4番目は全2k-1=7番目でないから
黒k=4番目は全2k=8番目以上

黒k=5番目は全2(k-1)+1=9番目以上
黒k=5番目は全2k-1=9番目でないから
黒k=5番目は全2k=10番目以上

黒k=6番目は全2(k-1)+1=11番目以上
黒k=6番目は全2k-1=11番目でないから
黒k=6番目は全2k=12番目以上

黒k=7番目は全2(k-1)+1=13番目以上
黒k=7番目は全2k-1=13番目でないから
黒k=7番目は全2k=14番目以上

黒k=8番目は全2(k-1)+1=15番目以上
黒k=8番目は全2k-1=15番目でないから
黒k=8番目は全2k=16番目以上

黒k=9番目は全2(k-1)+1=17番目以上
黒k=9番目は全2k-1=17番目でないから
黒k=9番目は全2k=18番目以上

…k=10～175まで以下endloopまで繰り返す
黒k番目は全2(k-1)+1=2k-1番目以上
黒k番目は全2k-1番目でないから
黒k番目は全2k番目以上
…endloop

黒k=176番目は全2(k-1)+1=351番目以上
黒k=176番目は全2k-1=351番目でないから
黒k=176番目は全2k=352番目以上

黒k=177番目は全2(k-1)+1=353番目以上
黒k=177番目は全2k-1=353番目でないから
黒k=177番目は全2k=354番目以上

黒k=178番目は全2(k-1)+1=355番目以上
黒k=178番目は全2k-1=355番目でないから
黒k=178番目は全2k=356番目以上

黒k=179番目は全2(k-1)+1=357番目以上
黒k=179番目は全2k-1=357番目でないから
黒k=179番目は全2k=358番目以上

黒k=180番目は全2(k-1)+1=359番目以上
黒k=180番目は全2k-1=359番目でないから
黒k=180番目は全2k=360番目以上

黒k=181番目は全2(k-1)+1=361番目以上だから
黒k=181番目は全2(k-1)+1=361番目
黒k=181番目は全2k-1=361番目でない事に矛盾するから

黒k番目が全2k-1番目になるkが存在する

この回答へのお礼

教授、おはようございます

ご連絡遅くなりまして申し訳ありません。

パソコンが壊れて、、


昨日新しいパソコンが届いて、色々な設定をして
今日から、数学再始動です

ご回答ありがとうございました。

拝見させていただきました。

理解力のない稚拙な私には到底理解できませんでしたが
ご回答頂いた事に深く感謝いたします。

‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾

from minamino

お礼日時：2023/08/30 07:10

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/28 16:02

白色180個と黒色181個の合わせて361個の碁石が横1列に並んでいる.

碁石がどのように並んでいても,
次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは白石と黒石が同数になる
ただし碁石が1つも残らない場合も同数とみなす

以下の場合の2k-1番目の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、残りは白石と黒石が同数になる

k=1番目の黒が2k-1=1番目に並んでいる場合m(1)=1
●…
k=2番目の黒が2k-1=3番目に並んでいる場合m(2)=3
〇●●…
k=3番目の黒が2k-1=5番目に並んでいる場合m(3)=5
〇●〇●●…
〇〇●●●…
k=4番目の黒が2k-1=7番目に並んでいる場合m(4)=7
〇●〇●〇●●…
〇●〇〇●●●…
〇〇●●〇●●…
〇〇●〇●●●…
k=5番目の黒が2k-1=9番目に並んでいる場合m(5)=9
〇●〇●〇●〇●●…
〇●〇●〇〇●●●…
〇●〇〇●●〇●●…
〇●〇〇●〇●●●…
〇〇●●〇●〇●●…
〇〇●●〇〇●●●…
〇〇●〇●●〇●●…
〇〇●〇●〇●●●…
…
だから
k番目の黒が2k-1番目に並んでいる場合が存在する事を証明すればよい

1≦n≦181
1≦m(n)≦361
m(n)+1≦m(n+1)…(1)
n≦m(n)≦n+180
n番目の黒がm(n)番目に並んでいるとする
1≦n≦181となるすべてのnに対して
m(n)≠2n-1と仮定する…(仮)

n=1のとき
m(n)=m(1)≧1=2n-1
m(n)≠2n-1だから
m(n)≧2n
ある自然数kに対してm(k)≧2kが成り立つとすると
m(k)≧2k
↓両辺に1を加えると
m(k)+1≧2k+1
↓(1)からm(k+1)≧m(k)+1だから
m(k+1)≧m(k)+1≧2k+1
だから
m(k+1)≧2k+1
(仮)から
m(k+1)≠2(k+1)-1=2k+1だから
m(k+1)≧2k+2=2(k+1)
n=k+1に対してm(n)≧2nが成り立つから
すべての自然数nに対してm(n)≧2nが成り立つから
n=181のとき
m(181)≧2*181=362
となって
1≦m(n)≦361
に矛盾するから
1≦k≦181
m(k)=2k-1
となるような自然数kが存在するから

k番目の黒が2k-1番目に並んでいる

この黒より左にある黒はk-1個
この黒より左にある白黒計碁石は(2k-2)個
この黒より左にある白は(2k-2)-(k-1)=k-1個

この黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは
白石(k-1)個と
黒石(k-1)個
が同数になる

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/27 20:20

白色180個と黒色181個の合わせて361個の碁石が横1列に並んでいる.

碁石がどのように並んでいても,
次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ
その黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは白石と黒石が同数になる
ただし碁石が1つも残らない場合も同数とみなす

1≦n≦181
1≦m(n)≦361
m(n)<m(n+1)
n≦m(n)≦n+180
n番目の黒がm(n)番目に並んでいるとする
1≦n≦181となるすべてのnに対して
m(n)≠2n-1と仮定する

n=1のとき
m(n)=m(1)≧1=2n-1
m(n)≠2n-1だから
m(n)>2n-1
ある自然数kに対してm(k)>2k-1が成り立つとすると
m(k+1)>m(k)>2k-1
m(k+1)≧2k+1
m(k+1)≠2(k+1)-1=2k-1だから
m(k+1)>2k+1=2(k+1)-1
n=k+1に対してm(n)>2n-1が成り立つから
すべての自然数nに対してm(n)>2n-1が成り立つから
n=181のとき
m(181)>2*181-1=361
となって
1≦m(n)≦361
に矛盾するから
1≦k≦181
m(k)=2k-1
となるような自然数kが存在するから

k番目の黒が2k-1番目に並んでいる

この黒より左にある黒はk-1個
この黒より左にある白黒計碁石は(2k-2)個
この黒より左にある白は(2k-2)-(k-1)=k-1個

この黒の碁石とそれよりも右にある碁石を全て除くと、
残りは
白石(k-1)個と
黒石(k-1)個
が同数になる

この回答へのお礼

教授こんにちは。

ご回答ありがとうございます

ご回答拝見させていただきました。

私には、難解で理解不能でした

以下答案

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https://imgur.com/a/Ns3NaVQ

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from minamino

お礼日時：2023/08/28 12:22

No.2 回答者： ジンラミー 回答日時： 2023/08/25 20:20

数式を使った解答ということであれば、中間値の定理をうまく使えるように問題を変形すれば良いと思います。

No.1 回答者： ジンラミー 回答日時： 2023/08/25 15:44

（１）一番左が黒の場合。

全て取り除かれるので同数。

（２）一番左が白の場合。この状態は白の方が多い。361個全部並べると総数は黒の方が1個多い。つまり、途中で必ず白の方が多い状態から黒の方が1個多い状態に変化する場所がある。その黒の方が1個多い状態の黒石の時点で問題文にある操作を行うと、白と黒が同数になる。

この回答へのお礼

こんにちは

お初です

ご回答ありがとうございます

ご回答拝見させていただきました。

(2) については、疑問を感じました

_______________________________

from minamino

お礼日時：2023/08/25 16:18