極方程式 r=√6/(2+cosΘ√6）の表す曲線を、直交座標(x,y)に関する方程式で表し, その

極方程式 r=√6/(2+cosΘ√6）の表す曲線を、直交座標(x,y)に関する方程式で表し, その概形を図示せよ
という問題で下のように考えて最後双曲線の1>=xのところを図示したのですが、模範解答では1>=xという条件がありませんでした。僕のこの解答間違いを指摘してくれると嬉しいです
また余力があればただしい同地変形をおしえていただけると嬉しいです

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/27 08:00

補足

r=L/(1+εcosθ) ①
r=-L/(1-εcosθ) ②
はr<0を許すと
①でθ=αの点と②でθ=α+πの点が同じ点を表すことに
注意。つまり①と②は同じ曲線を表している。
このことから、①と②から変形を合わせると
r=±(L-εx) ⇔r^2=(L-εx)^2
と出来るので
r^2=(L-εx)^2は①と同値として扱って良いのです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/27 07:21

天下りですが、極方程式

r=L/(1+εcosθ)
は円(ε=0)、楕円(0<ε<1)、放物線(ε=1)、双曲線(1<ε)
になります。
これは
x^2+y^2=L^2-2εLx+ε^2・x^2
に変形できます。

r=(√(6)/2)/(1+(√(6)/2)cosθ)
ですから
ε=√(6)/2>1なので双曲線。L=√(6)/2
双曲線は上下左右に無限に拡がるので
x≦1は間違い。
極方程式にr≧0という決まりは無いことに注意。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/27 05:34

r=√6/(2+cosθ√6)

cosθ=-2/√6 のとき分母　2+cosθ√6=0 となるから
cosθ≠-2/√6

-2/√6<cosθ　のとき　r>0

cosθ<-2/√6　のとき　r<0
(θ=πのとき r=-√6/2<0)