微分方程式の初期値問題

微分方程式の初期値問題　P’ = P (1 - P/4),　P (0) = 1　の解の変曲点の座標　( t, P (t) )　を求めよ.
この問題の解き方と答えを教えてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/28 19:37

P≠0 ,4 として、

　P'=P(1-P/4)・・・・・・①
を解くと
　4dP/{P(4-P)}=dt → {1/P-1/(P-4)}dP=dt
積分して
　log|p/(P-4)|=t+C → P/(P-4)=Ae^t
P(0)=1 だから
　-1/3=A → P/(P-4)=(-1/3)e^t・・・・・②
なお、省いた P≠0 ,4 も微分方程式の解であるが、初期条件を満
たさない。

Pでまとめると
　P=4e^t/(3+e^t)
となる。これは、
　0<P<4 ・・・・・③
である。

すると①から、P'>0 となり、Pは狭義の単調増加。

つぎに、変曲点であるが、①から
　P''=P'-PP'/2=P'(1-P/2)=P(1-P/4)(1-P/2)・・・・④
③から
　P>0, (1-P/4)>0
であり、④から、P=2　の前後で P'の変化率が増加から減少
になる。これは変曲点である。

すると②から
　2/(2-4)=(-1/3)e^t → t=log3
したがって、変曲点の座標は
　(log3,2)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/07/29 00:08