No.1ベストアンサー
- 回答日時:
P≠0 ,4 として、
P'=P(1-P/4)・・・・・・①
を解くと
4dP/{P(4-P)}=dt → {1/P-1/(P-4)}dP=dt
積分して
log|p/(P-4)|=t+C → P/(P-4)=Ae^t
P(0)=1 だから
-1/3=A → P/(P-4)=(-1/3)e^t・・・・・②
なお、省いた P≠0 ,4 も微分方程式の解であるが、初期条件を満
たさない。
Pでまとめると
P=4e^t/(3+e^t)
となる。これは、
0<P<4 ・・・・・③
である。
すると①から、P'>0 となり、Pは狭義の単調増加。
つぎに、変曲点であるが、①から
P''=P'-PP'/2=P'(1-P/2)=P(1-P/4)(1-P/2)・・・・④
③から
P>0, (1-P/4)>0
であり、④から、P=2 の前後で P'の変化率が増加から減少
になる。これは変曲点である。
すると②から
2/(2-4)=(-1/3)e^t → t=log3
したがって、変曲点の座標は
(log3,2)
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