楕円と回転行列について

以下のページの、楕円の方程式と回転行列の関係について質問があります。
https://toketarou.com/matrix/#toc6

まず、回転行列について、
t(x' y') =R(θ) t(x y)
は、 t(x y)を原点を中心にθだけ反時計回りに回転させるとt(x' y')の点に移ることを
示していると思います。

その上で、上記リンク先の内容は、楕円の標準形に見えない方程式でも、
(x y)座標から、(X Y)座標に考え直すことで、標準形の楕円の方程式で表せる、という内容で
t(x y) = R(π/4) t(X Y)
であることから、π/4回転した楕円であると説明されています。

ここで、π/4の回転行列を t(X Y)に左からかけてt(x y)になるということは、
(X Y)座標を反時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になるということではないのでしょうか。
しかし、楕円が示されている図のxy軸とXY軸の関係は、
(X Y)座標を時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になっています。

どこかで考え違いをしていると思うのですが、どの部分が間違っているのかを教えて頂きたいです。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  ありがとうございます。意図としてそのような処理をしている、ということは分かるのですが、
  「(x、y)を反時計回りに45度回転させた点(X、Y)を用意した」
  ということは、
  t(X Y) = R(π/4) t(x y)
  ではないでしょうか？
  
  一方でリンク先の(*'')の式は、
  t(X Y) = R(-π/4) t(x y)
  と書けますよね。
  
  なぜここが逆になってしまうかが分からず困っています。。。

    補足日時：2024/07/11 11:06

No.5 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/11 11:38

時間があるので、もう少し噛み砕いて見ました

まず、紙面に小文字のxy座標軸を書きます
その上に透明シートを載せて
透明シート上に斜め座標軸(X、Y)と
縦横座標軸で(1、1)と読み取れる位置に点Pを書きます
このシートを原点中心に時計回りに45度回転させます
すると、小文字座標軸は大文字の座標軸の下に隠れ、Pは縦横座標軸で
(√2、0)の位置へ移ります
この様子が
(1、１)に右回転のベクトルを掛けると→(√2、0)
です
(1、1)は(x、y)座標軸で読み取ったもの、
(√2、0)
は縦横となった後の(X、Y)座標軸で読み取ったもの
と言う事になってるので
任意の点で見るなら
(x、y)に右回転45度の行列を掛けると
→(X、Y)
と言う事になります

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/12 15:13

楕円が示されている図のxy軸とXY軸の関係は、

「
(X Y)座標を時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になっているのではありません
(x、y)を反時計回りに45度回転させた点(X、Y)を用意したのではありません
」
「座標軸」と「座標」を混同しないでください

xy軸を反時計回りに45度回転させてXY軸としたのです

図のように
楕円は回転させず軸だけを回転させるのです

図の軸回転前の楕円長軸上の赤点の座標
(x,y)=(√2,√2)
はx軸から反時計回りに45°回転した位置になっているのです

xy軸を反時計回りに45度回転させてXY軸とした後の
図の楕円長軸上の赤点の座標
(X,Y)=(2,0)
はX軸から0°回転した位置になっているのです

だから

x軸から反時計回りに45°回転している座標(x,y)が
X軸から0°回転した座標(X,Y)になるのだから

軸とは逆になり

(x,y)座標を時計回りに45°回転すると(X,Y)座標になる
(X,Y)座標を反時計回りに45°回転すると(x,y)座標になる

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/12 10:09

No.8 補足

XY座標の座標軸はxy座標の座標軸に対して　45度左へ(反時計回りへ)
回転してますよね？

ということは XY座標 で読み取った座標値を xy座標の座標値に直すには
XY座標 で読み取った座標値を左へ45度回転させないといけない。
当たり前ですよね？

ところがあなたは X,Y を x,y に変換するという形式に引きずられて
XY座標軸を基準にして、xy座標軸が右に傾いていることにこだわってます。
やっていることが逆なんです。

一般に 原点を同じくするXYとxy座標系があり、XY が xy に対して 反時計周りに
θ傾いている時、

（x、y) = (X, Y)を左にθ傾けたもの。
（X、Y) = (x, y)を右へθ傾けたもの。

になります。

同じ座標位置が XY と xy 座標系で、位置の角度がどのように
なるか考えてみるのも良いかもしれません。

例えば、xy座標で x軸基準の一般角がで 60度の点
を XY座標で見るとどうなるでしょうか？

その点は XY座標の X軸基準の一般角では 15度のなるはずですよね。
#図を描けば一目瞭然だと思います。
すると、xy座標系の座標値を45度右に回転させたものが
XY座標値になることがわかると思います。

車が左へハンドル切ると車窓の景色が右へ回転するのと同じです。

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/07/12 08:37

楕円形の紙片を、方眼紙の上に置いたと思ってみましょう。

座標軸を反時計回り45度回転させるのと
楕円を時計回り45度回転させるのは、
楕円と座標軸の位置関係で言えば同じことじゃない？

リンク先の話題を理解する上では、
座標軸を回転させるという考えは全面的に捨てて
楕円を回転させたほうが解りやすいとは思うけれども。
点の回転移動の話で済むからね。

あと、どうでもいいことだが、リンク先の例は
楕円を反時計回り45度回転させても
時計回り45度回転させても、どちらでも
式が楕円の標準形で書ける形になってるから、
この話がよけいややこしくなっているんではある。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/12 00:07

>(X Y)座標を反時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になる

>ということではないのでしょうか。

そうです。

>しかし、楕円が示されている図のxy軸とXY軸の関係は、
>(X Y)座標を時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になっています。

いつのまにか「座標軸の回転」に話がすり替わってます。

座標値の回転と座標軸の回転の正確な意味を良く考えてみよう。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/11 19:12

「

しかし、楕円が示されている図のxy軸とXY軸の関係は、
(X Y)座標を時計回りにπ/4回転すると(x y)座標になっています。
」
の部分が間違っている

xy軸を反時計回りに45度回転させてXY軸としている

(x,y)座標はxy軸からの相対距離
(X,Y)座標はXY軸からの相対距離
なのだから
軸とは逆になり

(x,y)座標を時計回りにπ/4回転すると(X,Y)座標になる
(X,Y)座標を反時計回りにπ/4回転すると(x,y)座標になる

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/11 16:55

補足日時：2024/07/11 11:06について

「(x、y)を反時計回りに45度回転させた点(X、Y)を用意した」のではありません

xy軸を反時計回りに45度回転させてXY軸としたのです

図のように
楕円は回転させず軸だけを回転させるのです

だから
楕円は　軸に対して相対的に時計回りに45度回転するのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/07/11 11:34

座標軸の回転方向と座標そのものの回転方向は逆になります

xy軸を反時計回りに45度回転させてXY軸としたとき

t(x y) = R(π/4) t(X Y)

と逆になるのです

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/11 11:24

あ、検索するなら

座標軸　回転
の方が良いかと思います

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/11 11:11

補足

座標軸を変換してるわけですよね…
例えば、(x、y)座標軸では(1、1)と表されるPについて見てみます
(X、Y)座標軸は(x、y)座標軸を反時計回りに45度回転した座標であるとするとこの座標での点Pは
(X、Y)＝(√2、0)ですよね
よって斜め座標軸での(√2、0)を45度反時計回りに回転させる行列に掛けると縦横の座標での(1、1)になっていることがわかります

この仕組みは以下
Y軸とy軸(及びX軸とx軸)をピッタリ重ねるようにすると、大文字の座標上での任意の点Qは、時計回りに45度回転した位置へ移ります
このとき縦横の座標軸で(1、1)であった点は同じく縦横の座標軸で(√2、0)に移る事になります
この(√2、0)を大文字座標軸で読み取って(X、Y)＝(√2、0)としてるわけだから
座標軸を小文字から大文字に変換するときはPに限らず、任意の点について
点(x、y)を時計回りに45度回転させたら、点(X、Y)になると言うわけです
なお、詳しくは、座標変換で検索してみる良いかと思います

この回答へのお礼

ありがとうございます。
同一座標軸上での回転行列の処理と異なり、
今回は座標変換なのでそもそも違うものとして考えなければいけないのですね。

提示して頂いた例はとても良く理解できました。
まだ概念についてしっくりきていませんが、じっくり考えてみようと思います。
色々とヒントをくださり、ありがとうございました！

お礼日時：2024/07/11 11:35