【問題】 次の点P（３，4）を，原点Oを中心としてπ/3だけ回転した位置にある点Qの座標を求めよ。

【問題】
次の点P（３，4）を，原点Oを中心としてπ/3だけ回転した位置にある点Qの座標を求めよ。

【自分の解き方】

ｘ軸の正の部分から 点Ｐ，点Q まで測った角を，
それぞれα，βとすると，

tanα＝ｙ/ｘ　　tanβ＝4/3
点Ｐ，点Qをそれぞれ通る2直線のなす角は60°より

tan60°＝tan（α–β）

√3＝tanα– 4/3 ／ 1＋4/3tanα

tanα– 4/3＝√3（1＋4/3tanα）

tanα＝3√3＋4 / 3 ｰ 4√3

だから、点Qの座標は（3 ｰ 4√3，4＋3√3）と答えました。

【解答】
しかし，正しい解答は
点Q（ 3 ｰ 4√3 / 2 ，4＋3√3 / 2 ）でした。

【質問】
この解き方ではやはり間違っているのでしょうか？
間違っているのならば，この解き方のどこがどう違うのか，そして，正しい解き方を教えて欲しいです！

No.7 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/04 09:50

x軸の正の部分から 点P，点Q まで測った角を，

それぞれα，βとすると，
点P(3,4)に対応する複素数は

3+4i=5e^(iα)

点Qに対応する複素数は

x+yi=5e^(iβ)

点P，点Qをそれぞれ通る2直線のなす角はπ/3=60°より
β=α+π/3
だから

x+yi=5e^{i(α+π/3)}
↓
x+yi=5e^{iα}e^{iπ/3}
↓3+4i=5e^(iα)だから
x+yi=(3+4i)e^(iπ/3)
↓
x+yi=(3+4i){cos(π/3)+isin(π/3)}
↓
x+yi=(3+4i)(1+i√3)/2
↓
x+yi={3-4√3+i(4+3√3)}/2

∴
x=(3-4√3)/2
y=(4+3√3)/2

この回答へのお礼

詳しく丁寧にありがとうございます！
おかげで理解できました！

お礼日時：2024/01/04 17:14

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/04 05:58

点P(3,4)に対応する複素数は

3+4i

原点Oを中心としてπ/3だけの回転に対応する複素数は
e^(iπ/3)
=cos(π/3)+isin(π/3)
=(1+i√3)/2

だから

(3+4i)e^(iπ/3)
=(3+4i){cos(π/3)+isin(π/3)}
=(3+4i)(1+i√3)/2
={3-4√3+i(4+3√3)}/2

に対応する点Qの座標は

((3-4√3)/2,(4+3√3)/2)

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/03 21:37

P

=
(3)
(4)

に
原点Oを中心としてπ/3だけの回転行列

(cos(π/3),-sin(π/3))
(sin(π/3),cos(π/3) )

をかけると

(x)=(cos(π/3),-sin(π/3))(3)
(y).(sin(π/3),cos(π/3).)(4)

↓

x=3cos(π/3)-4sin(π/3)=(3-4√3)/2
y=4cos(π/3)+3cos(π/3)=(4+3√3)/2

∴
(x,y)=((3-4√3)/2,(4+3√3)/2)

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/03 18:29

なお tan を使った時点で根本的に間違っているのかもしれない.

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/03 18:11

ちなみに、簡単にするために

この問題とは別の値を用いますが
y/x＝1/2
のとき
果たして、x＝2、y＝1で確定でしようか？
x＝4、y＝2
だって良いし、他の組み合わせも無数にある
そこが貴方の誤りなのでやす

この回答へのお礼

確かに考えてみるとそうです、、！
簡単にわかりやすく教えて頂きありがとうございます！

お礼日時：2024/01/04 17:15

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/03 17:57

タンジェントは直線の傾きてますから、求めたtanαの値は

直線ОQの傾きです
故にQがОからどのくらいの距離にあるのかと言う情報がかけています。
そこでОQは、傾きtanαの直線上かつ
ОQ＝5
この2条件で求めないとならないます

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/01/03 17:47

適切にかっこを付けないと読めないので注意してくれ.

さておき.

まず 3行目からしておかしい. α, β がそれぞれ何を表すのか, 忘れてしまったのかな?

でもって tanα＝3√3＋4 / 3 ｰ 4√3 から 「点Qの座標は（3 ｰ 4√3，4＋3√3）」ともっていった理由もわからん. どうしてそういえる? 例えば
Q の座標は (100000(3-4√2), 100000(4+3√3))
としなかったのはなぜ?