「違います 質問11 n≦-2ではz≠π/2で g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)

「違います
質問11
n≦-2ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
n≧-1でz≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)
と
してしまうと
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{(z-π/2)tan(z)}dz
という意味になってしまいこれは間違いです
あくまでnに関係なく
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
なのです

n≧-1の時は積分が困難なので
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
によってa(n)を求められないのです

n≧-1ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できるし
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とも定義できるのです
同じg(z)を使ってはいるけれども全く別のものなのです
全く別のものだから同じg(z)を使ってはいけないのです
だけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できても使えないからg(z)と定義しないで
g(z)=(z-π/2)tan(z)
と定義しただけのことです
だから

その条件を省いて
単に
n≦-2ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
n≧-1でz≠π/2の時
g(z)=(z-π/2)tan(z)
の
部分だけを書いてはいけません

n≦-2の時

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz

n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

です

ローラン級数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC …
に
書いてある通り

f(z)=tan(z)
の
z=π/2の周り0<|z-π/2|<πでの
ローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
0<r<π
C={z||z-π/2|=r}
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
となるのだけれども

実際に上記の積分公式

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz

を用いてローラン級数を計算することは、

積分計算が困難であるなどの理由から稀であって、

代わりに既に知られたテイラー展開

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

を組み合わせる方法に依ることが多い。」

に関して、

質問ごとに番号などを振り分けて頂けるとありがたいです。



質問13
>> 「n≧-1ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できるし
g(z)=(z-π/2)tan(z)
とも定義できるのです
同じg(z)を使ってはいるけれども全く別のものなのです
全く別のものだから同じg(z)を使ってはいけないのです
だけれども
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義できても使えないからg(z)と定義しないで
g(z)=(z-π/2)tan(z)
と定義しただけのことです」

なるほど。ではn≦-2の時、g(z)はどんな式なのでしょうか？



質問14
「n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}...①」に関して、
①の(n+1)を(n-1)としても
a(n)=res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z-> π/2](d/dz)^(n-1)(z-π/2)^n tan(z)...②と一致しません。①と②はどちらが正しい式なのでしょうか？


質問15
「n≧-1の時
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
左辺の被積分関数tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を
z≠π/2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義する事はしても積分計算ができないのでしないのです」
に関して、なぜ積分計算が出来ないのでしょうか？

質問16
逆にz≠π/2をz=π/2とした以下のような場合でもg(z)=(z-π/2)tan(z)なのはなぜでしょうか？

n≧-1の時
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
左辺の被積分関数tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を
z=π/2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義する事はしても積分計算ができないのでしないのです

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/23 21:46

tan(z)の

0<|z-π/2|<π
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)

z→π/2とすると左辺は-1に収束するから右辺も収束する
n≦-2の時 a(n)≠0と仮定すると
lim_{z→π/2}a(n)(z-π/2)^(n+1)=∞に発散するから右辺は発散するから右辺も収束することに矛盾するから
n≦-2の時 a(n)=0
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
から
a(-1)=-1
nが偶数の時a(n)=0

tan(z)の
0<|z-π/2|<π…(1)
でのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n…(2)
とする
a(-1)=-1
整数k≧0に対して
a(2k)=0
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}…(3)

x=z-π/2…(4)
とすると
↓これを(1)に代入すると
0<|x|<π…(5)
(4)から
z=x+π/2…(6)
↓これを(2)に代入すると
tan(x+π/2)=Σ_{n=-1～∞}a(n)x^n
sin(x+π/2)/cos(x+π/2)=Σ_{n=-1～∞}a(n)x^n
-cosx/sinx=Σ_{n=-1～∞}a(n)x^n
↓cot(x)=cosx/sinxだから
-cot(x)=Σ_{n=-1～∞}a(n)x^n…(7)
(6)を(3)に代入すると
z→π/2の時x→0,dx=dzだから
n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{x→0}(d/dx)^(n+1){-xcot(x)}
↓g(x)=-xcot(x)とすると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{x→0}(d/dx)^(n+1){g(x)}…(8)

g(x)=-xcosx/sinx
↓両辺を微分すると
g'(x)
=-cosx/sinx-x{-sin(x)/sin(x)}-xcosx(-1)cosx/(sinx)^2
=-cosx/sinx+xsinx/sinx+x(cosx)^2/(sinx)^2
=-cosxsinx/(sinx)^2+x(sinx)^2/(sinx)^2+x(cosx)^2/(sinx)^2
={-cosxsinx+x(sinx)^2+x(cosx)^2}/(sinx)^2
=(-cosxsinx+x)/(sinx)^2
={-sin(2x)/2+x}/({1-cos(2x)}/2)
=
g'(x)={2x-sin(2x)}/{1-cos(2x)}

↓両辺を微分すると

g"(x)
={2-2cos(2x)}/{1-cos(2x)}+{2x-sin(2x)}(-1){2sin(2x)}/{1-cos(2x)}^2
=2{1-cos(2x)}/{1-cos(2x)}-2sin(2x){2x-sin(2x)}/{1-cos(2x)}^2
=2-2sin(2x){2x-sin(2x)}/{1-cos(2x)}^2
=2({1-cos(2x)}^2-sin(2x){2x-sin(2x)})/{1-cos(2x)}^2
=2(1-2cos(2x)+{cos(2x)}^2+{sin(2x)}^2-2xsin(2x))/{1-cos(2x)}^2
=2{2-2cos(2x)-2xsin(2x)}/{1-cos(2x)}^2
=
g"(x)
=4/{1-cos(2x)}-4xsin(2x)/{1-cos(2x)}^2…(9)

=4{1-cos(2x)-xsin(2x)}/{(1-2cos(2x)+{cos(2x)}^2)
=4{1-cos(2x)-xsin(2x)}/{(1-2cos(2x)+{1+cos(4x)}/2)
=8{1-cos(2x)-xsin(2x)}/{(2-4cos(2x)+1+cos(4x))
=
g"(x)
=8{1-cos(2x)-xsin(2x)}/{(3-4cos(2x)+cos(4x))

n=1の時(8)から

a(1)
=(1/2)lim_{x→0}(d/dx)^2{g(x)}
=(1/2)lim_{x→0}g"(x)
=(1/2)lim_{x→0}8{1-cos(2x)-xsin(2x)}/{3-4cos(2x)+cos(4x)}
=(1/2)lim_{x→0}2{sin(2x)-2xcos(2x)}/{2sin(2x)-sin(4x)}
=(1/2)lim_{x→0}2xsin(2x)/{cos(2x)-cos(4x)}
=(1/2)lim_{x→0}{sin(2x)+2xcos(2x)}/{-sin(2x)+2sin(4x)}
=(1/2)lim_{x→0}2{cos(2x)-xsin(2x)}/{-cos(2x)+4cos(4x)}
=(1/2)(2/3)
=1/3

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/23 20:01

a(n)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)を使いません間違いです

n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
が
正しい式です

この回答へのお礼

訂正して下さりありがとうございます。

n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}ですが、これ以上はa(n)の式は展開出来ないのでしょうか？

また、n≦-2の時はa(n)=0と展開出来ましたが。
出来ればn≦-2の時はa(n)=0と展開するまでの過程の計算を教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/07/23 21:04

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/16 21:00

質問13

n≦-2ではz≠π/2で
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
で
よいのです

質問14
n≧-1の時

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}...①
が
正しい式です

a(n)=res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z-> π/2](d/dz)^(n-1)(z-π/2)^n tan(z)...②
は
間違いです

a(n)=res(f(z),π/2)
が
間違いです

a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
だから
a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
でなければなりません
だから

a(n)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
と
なります

質問16
訂正です
z≠π/2をz=π/2としたのは間違いでした

n≧-1の時
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
左辺の被積分関数tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を
z≠π/2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義する事はしても積分計算ができないのでしないのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。
「
n≧-1の時
a(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
左辺の被積分関数tan(z)/(z-π/2)^(n+1)を
z≠π/2の時
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義する事はしても積分計算ができないのでしないのです」においては、
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
と定義する事はしても積分計算ができないため、g(z)=tan(z)(z-π/2)と定義してa(n)の式を求めるのだとわかりました。

あのn≧-1の時はa(n)={1/(2πi)}∫_{C}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dzは積分が困難であるため、a(n)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)f(z)を使いますがn≧-1の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

また、出来ればn≦-2の時、a(n)=0となるまでの過程の式を教えて頂けるとありがたいです。

お礼日時：2022/07/23 18:38