線形代数の２次元直交座標系、極座標系についての問題がわからないです。

直交座標系についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
２次元直交座標系（xy座標系）の平面上に点P(xp,yp)がある。
(1)極座標系における点P の座標が（ｒ、θ）で表されるとき、xp,ypをｒとθを用いて表す。
(2)xy座標系を原点の周りに角度aだけ半時計回りに回転させるものをx’y’座標系とする。x’y’座標系における点Pの座標(x’p,y’p)をｒとθを用いて表す
(3)(x’p,y’p)は(xp,yp)の直交変換であることを(2)の結果を用いて示す。

（１）と（２）は自分で解きました。これも確認してほしいです。(1)xp=rcosθ, yp=rsinθ　(2)x’p=rcos(θ+a), y’p=rsin(θ+a)

質問者からの補足コメント

• (2)
  座標軸を回転するのならば
  ＞原点の周りにPを反時計回りさせるので、θ+aでないんですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/07/16 21:40

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/16 22:31

xy座標系でx軸

(1,0)
を
角度aだけ反時計回りに回転させると
xy座標系で
(cosa,sina)
の位置に移動する
から

xy座標系の
(cosa,sina)
は

x'y'座標系のx'軸
(1,0)
に
なるのです

点Pは
xy座標系で
xp=rcosθ
yp=rsinθ
x軸からθ回転したところ

x'y'座標系のx'軸
(1,0)
は
xy座標系の
(cosa,sina)
x軸からa回転したところ
だから

点Pは
x'軸から(θ-a)回転したところになるから
x'y'座標系で
x'p=rcos(θ-a)
y'p=rsin(θ-a)
に
なるのです

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/16 21:26

(1)

xp=rcosθ
yp=rsinθ

(2)
座標軸を回転するのならば
x'p=rcos(θ-a)
y'p=rsin(θ-a)

(3)
x'p=rcos(θ-a)=rcosθcosa+rsinθsina=xpcosa+ypsina
y'p=rsin(θ-a)=rsinθcosa-rcosθsina=ypcosa-xpsina

(x'p)=(cosa.,sina)(xp)
(y'p).(-sina,cosa)(yp)

(cosa.,sina)
(-sina,cosa)
は
直交行列だから直交変換