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直交座標系についての問題がわからないので、解答を教えて欲しいです。答えだけでなく過程も知りたいです。問題は以下通りです。
2次元直交座標系(xy座標系)の平面上に点P(xp,yp)がある。
(1)極座標系における点P の座標が(r、θ)で表されるとき、xp,ypをrとθを用いて表す。
(2)xy座標系を原点の周りに角度aだけ半時計回りに回転させるものをx’y’座標系とする。x’y’座標系における点Pの座標(x’p,y’p)をrとθを用いて表す
(3)(x’p,y’p)は(xp,yp)の直交変換であることを(2)の結果を用いて示す。

(1)と(2)は自分で解きました。これも確認してほしいです。(1)xp=rcosθ, yp=rsinθ (2)x’p=rcos(θ+a), y’p=rsin(θ+a)

質問者からの補足コメント

  • (2)
    座標軸を回転するのならば
    >原点の周りにPを反時計回りさせるので、θ+aでないんですか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/07/16 21:40

A 回答 (2件)

xy座標系でx軸


(1,0)

角度aだけ反時計回りに回転させると
xy座標系で
(cosa,sina)
の位置に移動する
から

xy座標系の
(cosa,sina)


x'y'座標系のx'軸
(1,0)

なるのです

点Pは
xy座標系で
xp=rcosθ
yp=rsinθ
x軸からθ回転したところ

x'y'座標系のx'軸
(1,0)

xy座標系の
(cosa,sina)
x軸からa回転したところ
だから

点Pは
x'軸から(θ-a)回転したところになるから
x'y'座標系で
x'p=rcos(θ-a)
y'p=rsin(θ-a)

なるのです
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(1)


xp=rcosθ
yp=rsinθ

(2)
座標軸を回転するのならば
x'p=rcos(θ-a)
y'p=rsin(θ-a)

(3)
x'p=rcos(θ-a)=rcosθcosa+rsinθsina=xpcosa+ypsina
y'p=rsin(θ-a)=rsinθcosa-rcosθsina=ypcosa-xpsina

(x'p)=(cosa.,sina)(xp)
(y'p).(-sina,cosa)(yp)

(cosa.,sina)
(-sina,cosa)

直交行列だから直交変換
この回答への補足あり
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