グッドデザイン賞を受賞したウォーターサーバー >>

2点 (a,b), (0,c) を通る半径 r の円の中心の座標を求めよ.
ただし,Δ=-1 + 4r^2/{a^2+(b-c)^2} >0 とする.

上手に求める方法はないでしょうか。

A 回答 (3件)

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2


x^2+(y-c)^2=r^2
2式の差を計算して整理すると、
2ax+2(b-c)y-(a^2+b^2-c^2)=0
(ちなみにこれは、2点を結ぶ線分の垂直二等分線の式になります)
これをx=・・・の形にして元の円の式に代入すれば、通常の2次方程式になりますから、
解の公式を使えばyが求められます。
それを、x=・・・の式に代入すれば、xも求められます。

そんなに難しい計算じゃないので御自分でどうぞ。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2012/03/10 23:37

問題から少々離れて話しますが、


「2点を通る円の中心座標は、2点を結ぶ線分の垂直2等分線上の点になる」

これは図を書いて考えると分ると思います。
2点を通る円は半径rを変えれば色々な円になりますが、中心位置は上記のようになります。
後はrと2点の座標を使ってうまいこと表現出来ればいいのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2012/03/10 23:37

求める中心の座標を(x,y)とすると


 r^2=(x-a/2)^2+(y-(b+c)/2)^2+(a/2)^2+((b+c)/2-c)^2
 r^2=x^2+(y-c)^2
この連立方程式を解けばよい。

>上手に求める方法はないでしょうか。

求める円が存在するようなr,a,b,cに対しては、連立方程式が解けて2点A(a,b),B(0,c)を結ぶ線分ABの垂直二等分線上に、線分ABに対して対称な位置に、求める円の中心が2個存在する(ただし、r>AB/2)。

しかし、文字パラメータa,b,c,rを含んだまま、
連立方程式を解くのは、文字定数がa,b,c,r(>0)多いので計算が煩雑で大変である。
数式処理サイトを使って、解くと良いでしょう。
次のサイト
http://www.wolframalpha.com/

solve([r^2=(x-a/2)^2+(y-(b+c)/2)^2+(a/2)^2+((b+c)/2-c)^2, r^2=x^2+(y-c)^2],[x,y])
と入力して実行すると
2組の(x,y)を求めてくれます。
(x,y)の式は非常に長くここに載せきれませんので、上のように入力して中心の座標(x,y)の
式を見てください。

手計算では計算が大変だろうとわかるかと思います。
a,b,c,rが数値で与えられているなら、手計算でも計算は容易にできるだろうね。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
しかし、中心の座標は、
({a+(b-c)√Δ}/2 , {b+c-a√Δ}/2 )
または、
({a-(b-c)√Δ}/2 , {b+c+a√Δ}/2 )
と具体的に表されるそうです。

お礼日時:2012/03/04 22:27

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Q二点間を通り半径Rの中心点を求めるには。

教えて下さい。
二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
どういった方法があるのでしょうか?
公式などあるのでしょうか?
例えば、
(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
2点間の距離>2Rの時は解が無い
2点間の距離=2Rの時は解は重解で2点を結ぶ線分が円の直径となる。
 円の中心は2点を結ぶ線分の中点が円の中心になります。
2点間の距離<2Rの時は
 2組の解の座標点が円の中心になり、円の中心は2つ存在します。
 この場合の円の中心は、(1)と(3)を(x,y)の連立方程式の解ですが、
 公式とするには式が長く複雑すぎます。
 個別の点が与えられたら、その都度、(1)と(3)から連立方程式を解いて
 円の中心座標の解を求めた方がよいでしょうね。

>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)を通る、
>半径4.612の円の中心点はどうやったら求まるのでしょうか?

2点間の距離
 =√(((14.50200 - 10.34600)^2) + ((46.81100 - 38.57600)^2))
 = 9.2242919

一方、円の直径=4.61200*2=9.22400
2点間の距離の方が円の直径より大なので不可能です。

もし、
>>(14.502,46.811)と(10.346,38.576)
2点を直径とする円なら、円の中心(x,y)を求める式は
x=(14.502+10.346)/2=12.424
y=(46.811+38.576)/2=42.6935
で計算できます。

>二点間を通る、半径Rの中心点を求めるには、
二点を通る円で半径Rの円の中心点を求めるには、
が正しい書き方です。
2点を(x1,y1),(x2,y2)とし円の中心点を(x,y)と置くと次の式が成立する。
(x-x1)^2+(y-y1)^2=R^2 … (1)
(x-x2)^2+(y-y2)^2=R^2 … (2)

(1)-(2)から
(2x-x1-x2)(x2-x1)+(2y-y1-y2)(y2-y1)=0 … (3)

(1)と(3)を(x,y)の連立方程式として解けば、通常、2組の解が出てきます。
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Q2点を通り、半径 r の円の中心点座標(展開後の式)

教えてください。
2点を通り、与えられた半径rの円の中心点座標の求め方を教えてください。
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Aベストアンサー

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よろしくおねがいします。
※この書き方で質問したいことってわかるでしょうか?

Aベストアンサー

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに3つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの3つで式が3つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この3つの式を引き算して新しい式をつくります。(rとa,bの2乗の項を消すことができます。
(1)-(2) 2(x2-x1)a + 2(y2-y1)b = (x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2) …(4)
(1)-(3) 2(x3-x1)a + 2(y3-y1)b = (x3^2-x1^2)+(y3^2-y1^2) …(5)
※別に(2)-(3) でも構いません。
(4),(5)は連立一次方程式なので、解くのは難しくありません。

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに3つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの3つで式が3つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この3つの式を引き算して新...続きを読む

Q三角形の外接円の中心座標を求めるプログラム

三点の座標(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が与えられたときに、三角形の外接円の中心座標と半径を求めるプログラムが欲しいです。

垂直二等分線の交点を求めるやり方は既に知っているのですが、連立方程式になってしまいます。
ですので出来ればこれを一発で求められる連立じゃない式が欲しいのですが、ご存じないでしょうか?

x = 何とか
y = 何とか
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Javaでやろうとしていますが、計算式さえわかれば自分で書けると思うので、中心座標のx,yを求める式を教えて下さい。

過去質問を探してみましたが、みんな連立方程式で解けば良いとおっしゃっていまして…

Aベストアンサー

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1-y3)(x1-x2)+2(y1-y2)(x1-x3)}

q = {(x1-x3)(x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2) +(x1-x2)(x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2)} / {2(x1-x3)(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y3)}


とかなり複雑な式になりました。
計算がどこかで間違っているかもしれませんが、残念ながらあまり美しくはなりませんね。

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1...続きを読む

Qタンジェントとアークタンジェントの違い

タンジェントとアークタンジェント、サインとアークサイン、コサインとアークコサインの違いをすごく簡単に教えてください。

Aベストアンサー

タンジェントやサイン、コサインは、角度に対する関数です。
例えば
 tan60°=√3
のような感じで、角度を入力すると、値が出てきます。

逆に、アークタンジェントなどは、数値に対する関数です。
 arctan√3=60°
などのように、数値を入力すると角度が出てきます。

そして、タンジェントとアークタンジェントの関係は、
springsideさんも書いてありますが、逆関数という関係です。
逆関数というのは、原因と結果が逆になるような関数です。
例えば、
  45°→タンジェント→1
  1  →アークタンジェント→45°
のように、「1」と「45°」が逆の位置にありますよね?
こういう関係を、「逆関数」というんです。

どうでしょう、わかりましたか?

QExcelを使用して円弧の半径を最小二乗法で求めたい

半径rで加工した円弧状の加工物があります。
その加工物の円周上の数点の位置測定データ(仮想原点からのX,Y座標)から
最小二乗法でその半径を計算したいのですが、Excelで計算できるでしょうか?

Aベストアンサー

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しましょう.

例えば,
   A   B   C  D
1 dx  dy  r
2 0   0   1  ***
3 xi  yi
4 4   2   *  **
5 3   5
6 2   6
7 1   7

のようにします.(等幅フォントでご覧下さい.)
A2からC2はソルバーによって値が変化するので,適当な値を入力しておけばいいです.
データをA4,B4から順に下に向かって入力してください.
C4には,
=sqrt((C4-$A$2)^2+(B4-$B$2)^2)
D4には,
=(C4-$C$2)^2
とし,
C4をC7までコピー,
D4をD7までコピーしてください.
さらに,D2に
=SUM(D4:D7)
とします.もちろん,データ数が多い場合は,D7の7はもっと大きい値になります.

ここまで準備ができたら,あらためてソルバーを起動し,
・目的セルを「D2」
・目標値(最大値,最小値,値)を「最小値」
・変化させるセルを「A2:C2」
として,実行してください.

以上.

できます.ソルバーを使います.

メニューの「ツール」の中に「ソルバー」がなければ,
まず,メニュー→「アドイン」で,ソルバーにチェックをつけて,OKをクリックし,指示に従って操作すると,ソルバーがインストールされます.その際,office等のCD-ROMが必要です.

さて,メニュー→「ツール」→「ソルバー」を選択すると,ダイアログが開きます.
・目的セル
・目標値(最大値,最小値,値)
・変化させるセル
などの項目があります.今はこのダイアログは閉じて,これにあったセルをまず用意しまし...続きを読む

QX、Y座標上にある2点間の円弧の距離

X、Y座標上にある2点間の円弧での距離を求める方法を教えてください。
例:A点(5、10)、B点(10、5)とした場合のA、B間の円弧の距離はいくつになりますか?回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形になります。
他の1辺の長さは、二点間の直線距離ですから
二点間の直線距離の式(2)を利用します。
(ピタゴラスの定理の変形を利用します。)
√{(X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2}・・(2)
二点間の直線距離は、√((-5)^2+5^2)=√50=5√2
になります。これで3つの辺の長さがわかりました。
この二等辺三角形の頂角Θがわかれば円弧の長さが
わかります。
求め方(1)
そこで、二等辺三角形の頂点から垂線を引いて
同じ直角三角形を2個つくれば、
長辺が5√5、短辺が(5√2/2)の直角三角形ができます。
垂線の長さはピタゴラスの定理により
√{(5√5)^2-(5√2/2)^2}で求まります。
=√(125-50/4)=(5・3√2)/2
これから3辺の比が (√10:3:1)がわかります。
これから求める二等辺三角形の頂角Θは、
この三角形の頂角の2倍として、アークtanで表すと、
Θ=2×arctan(1/3)
となり、Θをラジアンにすれば円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(2×arctan(1/3))/2π
=(5√5)×(2×arctan(1/3))
=(10√5)arctan(1/3)
ちなみに角度Θは、36.87度になります。
(角度での答えは#5さんにあります。)
求め方(2)
三角形の余弦定理を使う場合
角度Θの二辺A,Bに挟まれた一辺の長さCは以下の式です。
C^2=A^2+B^2-2ABcosΘ
これを使えば、二辺A=B=5√5、C=5√2ですので
50=250-250cosΘ, 50/250=0.20=1-cosΘ
cosΘ=0.8 からΘ=arccos(0.8) で出ます。
角度をラジアンにすれば
円弧の長さは以下で求まります。
2πr×(arccos(0.8))/2π
=(5√5)×(arccos(0.8))
以上 補足まで

回答は出ていますので考え方の補足まで、
原点(X,Y)=(0,0)とする円の方程式は(1)で与えられます。
X^2+Y^2=r^2 ・・(1)
与えられた2点は円弧の上にありますから
(X1,Y1)=(5,10)
(X2,Y2)=(10,5)
どちらかを代入すれば半径が得られます。
半径r=√(5^2+10^2)=√(125)
=5√5
命題は、与えられた2点間の円弧の長さを求める問題ですね。
そこで、円弧の2点と中心(0,0)を3点としてできる三角形を考えます。
当然,この三角形は二辺の長さ(円の半径)を(5√5)とする
二等辺三角形...続きを読む

Q多点を通る円の中心

3点を通る円の中心を求める解法はわかりますが、4点以上の多点を通る場合は、どのような求め方があるでしょうか?
どなたかわかる方アドバイス願います。

Aベストアンサー

#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に4点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい)ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
(たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味)
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を自乗して、
E^2 = ( XA + YB + C + X^2+Y^2 )^2
この式をA,B,Cそれぞれについて偏微分して0とおくと
X^2*A + XY*B + X*C + X(X^2+Y^2) = 0
XY*A + Y^2*B + Y*C + Y(X^2+Y^2) = 0
X*A + Y*B + C + (X^2+Y^2) = 0
という式が得られます。これをA,B,Cを変数とする連立方程式として解いて、変数変換したときの式で元にもどせば円の式が得られます。このとき上記の式において、XYに関する記述は次の意味なのでご注意下さい。
X^2 = x1 + … + x4
XY = x1*y1 + … + x4*y4
X = x1 + … + x4
X(X^2+Y^2) = x1*(x1^2+y1^2) + … + x4*(x4^2+y4-2)
Y^2 = y1^2 + … + y4^2
Y = y1 + … + y4
Y(X^2+Y^2) = y1*(x1^2+y1^2) + … + y4*(x4^2+y4-2)
(X^2+Y^2) = x1^2+y1^2 + … + x4^2+y4-2

連立方程式を解く部分はmaririn222さんに委ねます。
言うまでもないことですが、4点に対しての式を書きましたが、4点以上の何点でも適用できることは明らかですよね。

#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に4点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい)ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
(たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味)
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を...続きを読む

Q円の中心座標の求め方

座標(x,y)=(0,4.35)と(1.23,2.38)の2点を通る半径3.65cmの円の中心座標の求め方を教えてください。どうぞお願いします。

Aベストアンサー

なんでもいいんで、補足になんか書いてください、このままじゃ丸投げなんで(禁止事項)

ヒント:
中心座標(a,b)
(x-a)^2+(y-b)^2=(3.65)^2

に各二点の値を代入

Q円の中心座標の問題の解き方を教えてください。

円の中心座標の問題の解き方を教えてください。

問題
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円の中心座標を求めよ

解く方針は以下のようにしました。
中心座標をO(X,Y,Z)とおき、AB、BCとCAの中点をそれぞれ点D,E,Fとして
OD,OE,OFはそれぞれAB、BC、CAと直交することから内積を利用して中心Oを求めようとしましたが、
解けませんでした。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

3点が1平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもxy平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

(解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2  (2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2    (3)

(2)-(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)-(3)より
x+2y+5z=17  (5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
|x, y,z,1|
|1,-2,1,1| = 0
|3, 1,7,1|
|2, 0,6,1|

4行目を各行から引いて
|x-2, y,z-6,0|
| -1,-2, -5,0| = 0
| 1, 1, 1,0|
| 2, 0, 6,1|

|x-2, y,z-6|
| -1,-2, -5| = 0
| 1, 1, 1|

展開して

3x-4y+z=12 (6)

(4)、(5)、(6)を連立して
x=80/13
y=51/26
z=18/13

3点が1平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもxy平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

(解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2  (2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2    (3)

(2)-(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)-(3)より
x+2y+5z=17  (5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
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