一般共変性原理 → テンソル形式（と共変微分）となるのは何故ですか

一般共変性原理

「物理法則は、すべての座標系において同じ形式でなければならない」あるいは「一般座標変換によって物理法則は不変である」

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC …

これによると数学的には、「全ての物理法則はテンソル形式（と共変微分）を用いて記述されねばならない」とあるのですが、これは正しいですか。
なぜそのようなことがいえるのでしょうか。

No.2 回答者： haorimushi 回答日時： 2015/12/09 19:04

この記述はずいぶん言葉が足りないですよね。

言いたいことはわかりますけど。

本当に言うべきことは、まず、すべての物理法則は、座標系の取り方に依存しないものでなければならない、とするべきでしょうね。座標系というのは、人間が世界の側に押し付けたものなので、物理法則はそれと独立に成り立っているべきだということです。ですから、物理法則は、座標系を表に出さない書き方で書かれるのが本当は望ましいわけです。それに座標系を入れれば、たとえば斜交座標系を使うと、共変微分が古典力学でも出てきます。

一般相対論の場合は、他の物理法則と違って、時空の構造そのものを問題にするので、最初から座標を入れないとしょうがないということと、時空の曲がりがあるので共変微分みたいな微分幾何学の道具が出てこざるを得ないことになります。曲率などが問題になるので、テンソルも出てこないとしょうがないです。

ただ、「すべての物理法則は」といわれると、熱力学第二法則はどうなんだ？といういちゃもんをつけたくはなりますねえ。少なくとも初等的平衡熱力学の範囲でかつ電磁場なんかを扱わないとすると、時間も空間もベクトル量も関係ないですから、テンソルや共変微分も関係ないです。熱力学量を座標とみなすといわれれば、その限りではないかもしれないですけど、そういう意味じゃないですよねえ。

この回答へのお礼

「全ての物理法則はテンソル形式（と共変微分）を用いて記述されねばならない」

これが正しいのであれば、本腰を入れてテンソルと共変微分を習得しないと物理やったことにはならないという教えなのでしょうね。

お礼日時：2015/12/10 07:54

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2015/12/06 20:59

たしか正しかったはず。