『重解についての疑問』

昔からの疑問なのですが、１変数n次多項式の＝０の解は複素数まで拡張すれば、必ずn個あるということで、例えば２次式の場合は２個あるということですよね。しかし、具体例を挙げると、ｙ＝x²の場合、０が１個しかない。別に虚数解が隠れているわけでもなく、本当に１個しかなく、これを２個あると見做すために、０を２回重複して数えるというか、２個の解が０で１つに重なっているとしていると思います。
けれど、素朴な疑問として、２個の解って何だ？何と何が重なっているんだろう？と疑問が湧いてくるのです。何とか納得しようと、例えばｙ＝x²ーa² a:実数とし、＝０の解が±aでこのaが限りなく０に近づく極限としてy=x²がある。だから、本当は±aという２個の解があるのだけど、それらが限りなく０に近いから、実質、解を０としてよい。だけれども、極限の考えとして、あくまで２個の解があるということで、だから、２個の解が０に重なって（どこまでも重なっていこうとしていて）…
とまあ、納得し切れないところを何とか収めようとしてはみるのですが、何とも、危ういというか、曖昧というべきか。
元々は、n次式には必ずn個の解があるとせんがためですよね。でも、その理由って何でしょう？
確かにn次式にはn個の解、という主張には整合性があり、ピッタリくる綺麗さがありますが、それ以外の理由はあるのでしょうか？
それとも、長いこと慣例、慣習となってきたし、これと言って実害もないのだから、このままでいいじゃないか、というところなのですかね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/15 21:04

「重解を重複度の個数と数えれば n次方程式の解は n個」というのは、

標語としては簡潔ですが、所詮言葉遊びです。内容を正しく把握しましょう。

代数学の基本定理とは、「複素係数の代数方程式は、複素数の範囲に
必ず解を持つ」です。これと因数定理を組み合わせると、
「複素係数の n次多項式は、必ず n個の一次式の積に因数分解できる」
となります。本来、 n個あるのは解ではなく、一次因子です。それを
耳障りよく言い換えようとして「n次方程式の解は n個」としてしまうと、
重解を重複して数えるような微調整が必要になります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2023/05/15 21:00

重解ですから 「0 が2つ有る」と考えるのです。

数学で使う言葉には、日常使う言葉と同じでも
意味が多少違う事は沢山あります。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2023/05/15 18:01

数学は抽象化や一般化の学問なので、個という概念に関する自分の価値観をベースに考えてしまうと、このような質問に行き当たる事がありますね。

例えば以下の条件を考えてみましょう。
① x はリンゴとバナナの合計である。
② リンゴの数とバナナの数は等しい。

①の条件から、リンゴ２個とバナナ２個だったり、リンゴ１個とバナナ１個であったり、リンゴ０個とバナナ０個であったりするわけです。

つまり０の重解は、０が２個と考えちゃ駄目なんでしょうか？　２種類の０が１個ずつあると考えても良いのではないですか？