チャートにも載っている(数IIB例題103)有名問題ですが、
実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。
というものですが、
解答
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≦(X^2/2)-(1/2) ---(1)
までは分かるのですが、
ここで、
また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の2つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≦0
と、全く関係ないtや、2次方程式が出てくるのか分かりません。
「解説には、x,yは実数であるから、点(X,Y)の領域に制限がつく。
x,yを解とするtの2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0すなわちt^2-Xt+Y=0において、
解x,yは実数であるから 判別式D=X^2-4Y≦0 」
とありますが、X,Yと置き換えから、x,yから来る制限は理解できますが、突然tの二次方程式が何故出現するのか分かりません・・・
どなたかよろしくお願い致します。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
本質ではないのだが
問題と解答が一致しないのだが
どっちがただしいんだい?
別に二次方程式じゃなくたっていい.
単に,x+yとxyが分かってるときに
xとyを求めるという「連立方程式」をとくには
解と係数の関係を逆手にとって二次方程式を解くという
定石があるから,それを利用してるだけ.
x,yが実数なんだからそれが解となる二次方程式
(t-x)(t-y)=0の判別式を考えるということ.
三角関数使ったって構いません.
申し訳ありません。
解答の方が間違えていました・・・
正しくは(全文)
問)実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。
解)
X=x+y, Y=xyとおく。
x^2+y^2≦1から、(x+y)^2-2xy≦1
よって、X^2-2Y≦1
ゆえに Y≧(X^2/2)-(1/2) ---(1)
また、x,yは2次方程式t^2-(x+y)t+xy=0
すなわちt^2-Xt+Y=0 ---(2) の2つの実数解であるから、
(2)の判別式をDとすると
D=X^2-4Y≧0
ゆえにY≦X^2/4 ----(3)
(1)、(3)から、(X^2/2)-(1/2)≦Y≦X^2/4
変数をx,yに置き換えて
(x^2/2)-(1/2)≦y≦x^2/4
です。
申し訳ありませんでした。不等式がちらほらと間違っていました。
>別に二次方程式じゃなくたっていい
なるほど・・・そこが謎だったのです。
たとえば、y=tx+bではダメなのでしょうか・・・
急に、tの2次方程式t^2-(x+y)t+xyなどを出してきて平気なのでしょうか?
>解と係数の関係を逆手にとって二次方程式を解くという
>定石があるから,それを利用してるだけ
>x,yが実数なんだからそれが解となる二次方程式
>(t-x)(t-y)=0の判別式を考えるということ.
なるほど・・!何となく分かってきたような気がします。
少し、その定石について、調べてみます。
ありがとうございます。
皆さん、本当に頭がイイですね・・・
No.5
- 回答日時:
点(X,Y) が、問題の軌跡上の点であるためには
x+y=X -----(1)
xy=Y -----(2)
x^2+y^2=1 -----(3)
を満たす実数 x,y が存在することが必要であり、十分でもある。
つまり、上のx,y についての連立方程式が解をもつための
X,Yの条件を求めればよい。実際に解いてみる。
(1)より y=X-x
(2)に代入 x^2-Xx+Y=0
x=(1/2){X±√(X^2-4Y)} ------------(4)
x が 実数となるためには X^2-4Y≧0
y=X-x
y=(1/2){X-+√(X^2-4Y)} ---------------(5)
( 以上を、x,y を解にもつ二次方程式を作って解くと解答のようになる。)
次に (4)(5)の x,yが(3)を満たす必要がある。
そのためには、代入すれば良い.
x^2+y^2=1
(x+y)^2-2xy=1 これに代入する。 (1)(2)が成り立つことに注意すると
X^2-2Y=1
お返事ありがとうございます。
私の頭では完全に理解することが出来ないのですが、
点(X,Y) が、問題の軌跡上の点である条件のようなものを、
求めたのですよね。じっくりと数式を何をしているのか理解していこうと思います。
ありがとうございまた
No.4
- 回答日時:
>みたいな理解なのですね
まぁ、それで良いだろう。
>失礼なことをして申し訳ありません。
君が間違っただけで、別に私に失礼があったわけじゃない。
誤らなくても結構。
>take5さま、いつもありがとうございます。
君は、この間“極と極線”の質問をしていた人か。
それで、理解できたのか?
簡単な問題ではないから時間がかかるかもしれないが、がんばってみたら良い。
それでもわからなければ、再度質問したら良い。
ついでに、余談だが。。。。。。笑
>実数x、yがx^2+y^2=1という関係を満たしながら動くとき点P(x+y、xy)の軌跡を求めよ。
この手の問題は、私が高校生の頃にもあった。
と、言うより、このような問題の原型は、今から50年ほど前の東大の問題だったそうだ。
私も、当然君も、生まれていなかった頃の問題なんだが、今では常識のような問題だろうが、
当時としては斬新で難問だといわれたそうだ。
私が、高校生の頃愛読していた“大数”(東京出版)に書かれていた記憶がある。
入試問題なんて、繰り返しの連続で、大して進歩してないって事かな?
返事が遅くなってしまって申し訳ございません。
ハイ、ミスはこれから気を付けるようにしますね。
>それで、理解できたのか?
それがまだなのです。時間があるときに、またゆっくり考えて見ます。
>大して進歩してないって事かな?
50年前ですか・・・
でも、私がやってる高校数学は哲学者の時代の数学らしいですし・・・
とてもヘンな感じがします。
大数は夏ごろにしようと思っているのです。
また質問するかもしれませんがよろしくお願い致します(>_<、
No.3
- 回答日時:
>x,yから来る制限は理解できますが、突然tの二次方程式が何故出現するのか分かりません
簡単なことだよ。
x、yが共に“実数”であるための条件だから。
x、yが“虚数”だったら、どうする?
>判別式D=X^2-4Y≦0
不等号の向きが反対じゃないか?
>簡単なことだよ。
>x、yが共に“実数”であるための条件だから。
>x、yが“虚数”だったら、どうする?
ああああ・・なるほど
つまり、
x,yが実数である、その中で例えば、そのx,yを使って作る、xとyが解のtの2次方程式があったとする(←これが急にこの2次方程式を使うよろしいでしょうか・・?)
その2次方程式が実数の解を持たなくてはおかしい
みたいな理解なのですね
>不等号の向きが反対じゃないか?
申し訳ないです・・・逆でした。
失礼なことをして申し訳ありません。
take5さま、いつもありがとうございます。
本当に助かります!
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