軌跡について

実数x、ｙがx^2＋y^2＝１という関係を満たしながら動くとき点P(x＋ｙ、xy）の軌跡を求めよ。という問題で、実数ｘ,yという条件をどうにかするのだと思いますが、こういうのは大学への数学で載っていたのですが逆手流というのでしょうか？そもそも逆手流さえよくわかっていないというか、軌跡でさえ何故もとめるものを点（X,Y)とおくのさえ分かっていません…。お願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/25 23:49

蛇足ですが。

この okwave の質問サイトにはしばしば「方程式を解いた後に、その解が確かに元の方程式を満足しているか確認する必要があるのでしょうか？」といった質問が投げられますね。

本問は「逆が成立するか」を強く意識する必要がある問題となっています。

ANo.4 氏の解答のように、「x^2 + y^2 = 1 なので(中略) P(X, Y) は －√2≦X≦√2 を満たす」のような議論では永遠に解答には辿り付きません。
# ANo.4 さん引合いに出してゴメンね。

「P(X, Y) が 1＋2Y＝X^2 ならびに －√2≦X≦√2 を満たすとき、『逆に』X = x + y、Y = xy、x^2 + y^2 = 1 なる x, y ∈ R が存在する」ことを示して下さい。

No.4 回答者： ujitaka 回答日時： 2007/07/25 15:16

x^2＋y^2＝１ を満たす点の集合(軌跡)は円になります。

ｘ＋ｙ＝X…(1)、ｘｙ＝Y…(2)としてXとYの関係を求める問題です。
(1)を２乗すると、x^2＋2ｘｙ＋y^2＝X^2、1＋2ｘｙ＝X^2　この式に(2)を適用すると、1＋2Y＝X^2　YはXの2次関数になります。
与えられた条件より、XとYの範囲を求める必要がありそうです。そのためにｘ＝cosθ、ｙ＝sinθとおくと、
X＝ｘ＋ｙ＝cosθ＋sinθ＝√2sin(θ＋π／4)
－√2≦X≦√2
Y＝ｘｙ＝sinθcosθ＝(1／2)sin2θ
－1／2≦Y≦1／2
X＝±√2のとき、Y＝1／2になるので、求める軌跡は、
1＋2Y＝X^2　の放物線上の－√2≦X≦√2の範囲になりそうです。

No.3 回答者： chomsky123 回答日時： 2007/07/25 09:58

chart曰く（虎は死んで皮を残す。

）（文字は消えて変域を残す。）だったかな？

＊＊軌跡の限界

＞＞(x^2)+(y^2)=1,,,,（X,Y)=(x+y、xy）

まず、実数（X,Y)の存在条件、此れが頗る判り難い。
(t-x)(t-y)=0
(t^2)-(x+y)t+xy=0
(t^2)-Xt+Y=0
D≧0
(X^2)-4Y≧0
**Y≦(1/4)(X^2)

(x^2)+(y^2)=1
((x+y)^2)-2xy=1
(X^2)-2Y=1
**Y=(1/2)(X^2)-(1/2)

此のあとは放物線をふたつ描いた方が判りよい。

　・　　　　　　　　　　　　　　・

　　　　　
　　・　○　　　　　　　○　・　Y≦(1/4)(X^2)
　　　　
　　　・　　　　　　　　　　・
　　　　　●　　　　　●　
　　　　　　　　　・
　　　　　　●　　　●　Y=(1/2)(X^2)-(1/2)　　　　
　　　　　　　　●　　
(1/2)(X^2)-(1/2)=(1/4)(X^2)
2(X^2)-2=(X^2)
(X^2)-2=0
X=√2,,-√2

解は　Y=(1/2)(X^2)-(1/2)　（-√2≦X≦√2）
:：：：：：：：：：：：：：：：：

此の軌跡の限界が怖いので、遠回りでも媒介変数を使うと、限界に気が付き易い。

(x^2)+(y^2)=1
((cosA)^2)+((sinA)^2)=1
x=(cosA),,,y=(sinA)

X=(x+y)=(cosA)+(sinA)=√2sin(A+45度)
（-√2≦X≦√2）と判明する。

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/07/25 07:16

>こういうのは大学への数学で載っていたのですが逆手流というのでしょうか？

聞いたことない。

x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy だから、X^2 - 2Y = 1 の放物線の一部か。

No.1 回答者： kumoringo 回答日時： 2007/07/24 21:07

使用する文字を変えて次のように言い換えてみたのですが、分かりやすくなりませんか。

「実数a、bがa^2＋b^2＝１という関係を満たしながら動くとき、x座標がa+b、y座標がabである点P(x、y）の軌跡を求めよ。」

それと、全く分からない時は代表的な値を代入してみてイメージをつかむと良いでしょう。例えば (0, -1) や (√2/2, √2/2)。