数学教えてください！！軌跡、極線、反転 円C：x^2+y^2=1にCの外部の点P(a.b)から引いた

数学教えてください！！軌跡、極線、反転
円C：x^2+y^2=1にCの外部の点P(a.b)から引いた2本の接線とCの接点をQ1.Q2 とし、線分Q1Q2の中点をQ(X.Y)とする。
(1)点Pが直線y=-x+1上を動くとき、点Qの軌跡は？
(2)点Pが円(x+1)^2+(y+1)^2=2上を動くとき、点Qの軌跡は？
よろしくお願いします

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/08 22:28

反転によって、直線Lは原点Oを通る円Cに写り、L上で原点に最も近い点pの反転をp'とすると、Op'が円Cの直径。

逆に、原点Oを通る円Cは直線Lに写る。
　ついでに、反転によって、原点を通らない円Dは原点を通らない円Cに写り、D上で原点に最も近い点pの反転をp'、D上で原点から最も遠い点qの反転をq'とすると、p'q'が円Cの直径。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/07/08 09:49

(1)

円の点(x',y')を通る接線は
　x'x+y'y=1
これが、(a,b)を通るから
　ax'+by'=1・・・・・①
また 　y'=±√(1-x'²) だから
　ax'±b√(1-x'²)=1 → (ax'-1)²=b²(1-x'²)
→ (a²+b²)x'²-2ax'+(1-b²)=0
→ x'={a±√(a²+b²-1)}/(a²+b²)

ここで、x'の点は2つあるとき、その中点を (u,v) とすると
　u=(x'₁+x'₂)/2=a/(a²+b²)・・・・②
となる。

①において、ax',by'は対称だから、中点 vは②において、a → b
としたものになるから
　v=b/(a²+b²)・・・・③
となる。

②③から
　v/u=b/a , au+bv=1・・・・④
であり、

(a,b)=(x,1-x)のとき、④から、a,bを消して
　v/u=(1-x)/x=(1/x)-1 → x=1/((v/u)+1)=u/(u+v)
　xu+(1-x)v=1
となる。これらから、xを消すと
　{u/(u+v)}u+{1-u/(u+v)}v=1
→ u²+(u+v)v-uv=u+v → u²+v²-u-v=0

→ (u-1/2)²+(v-1/2)²=1/2

という円(の一部、元の円の内部のときは無い)になる。


(2)
(a,b)=(x, -1±√{2-(x+1)²}) のとき
同様に④から
　v/u=b/a=[-1±√{2-(x+1)²}]/x・・・・・⑤
　xu+{-1±√{2-(x+1)²}v=1
これらから　{-1±√{2-(x+1)²}　を消すと
　xu+xv²/u=1 → x=u/(u²+v²)・・・・・⑥

また、⑤で±√ で整理して、2乗を取ると
　(xv/u+1)²=2-(x+1)² → (v²/u²+1)x²+2(v/u+1)x=0
→ x=0 or x=-2(v/u+1)/(v²/u²+1)=-2u(v+u)/(v²+u²)

⑥と合わせると
　u=0
または u≠0 とすると
　u/(u²+v²)=-2u(v+u)/(v²+u²) → v+u=0・・・・⑦

ここで、②から、u=0 → 常に a=0 となるが、aは円の軌跡なので
解は⑦の直線のみとなる。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/08 09:14

まずは大文字と小文字、"."と","の使い分けをキッチリしよう。

で、
最初に「QはPの反転である」ということを証明する。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2022/07/08 07:44

寝ぼけていたみたいで、NO.1の答えは間違っている。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2022/07/08 06:43

(1) 点Pと点Qの位置関係を想像すると点Qの軌跡はy=-x+1(0≦x≦1)

(2) 想像すると軌跡は円弧となる。