a,bは定数で、ab>0とする。放物線C1:y=ax^2＋b上の点P(t,at^2＋b)における接線

a,bは定数で、ab>0とする。放物線C1:y=ax^2＋b上の点P(t,at^2＋b)における接線をlとし、放物線C2:y=ax^2とlで囲まれた図形の面積をSとする。

(1)lの方程式を求めよ。
(2)lとC2のすべての交点のX座標を求めよ。
(3)点PがC1上を動くとき、Sは点Pの位置によらず一定であることを示せ。

数2です教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/02/18 09:45

(1)

点Pにおける接線の傾きは2atだから、lの方程式は、
y=2at(x-t)+at²+b
∴y=2atx-at²+b

(2)y=ax²とy=2atx-at²+bを連立させて、
ax²=2atx-at²+b
ax²-2atx+at²-b=0
x=[at±√{a²t²-a(at²-b)}]/a　←解の公式
∴x={at±√(ab)}/a　これが求めるx座標
（なお、ab>0なので、これは実数。）

(3)
α={at-√(ab)}/a、β={at+√(ab)}/aと置くと、
S=∫[α→β] {(2atx-at²+b)-ax²} dx
=∫[α→β](-ax²+2atx-at²+b) dx
=∫[α→β] {-a(x-α)(x-β)} dx　←ax²-2atx+at²-b=0の解がα、βだから。
=-a∫[α→β] (x-α)(x-β) dx
=-a∫[α→β] (x-α){(x-α)-(β-α)} dx　←いわゆる1/6公式の導き方
=-a∫[α→β] {(x-α)²-(β-a)(x-α)} dx
=-a[(1/3)(x-α)³-(1/2)(β-α)(x-α)²][α→β]
=-a{(1/3)(β-α)³-(1/2)(β-α)³}
=(1/6)a(β-α)³　※

ここで、β-α=(2√ab)/aであり、tに無関係な一定値であるから、※はtに無関係な一定値。つまり、点Pの位置に無関係な一定値である。
以上により、示された。