微分の問題なのですが・・・

問：原点を通るy=x+1/xの法線を求めなさい。

という問題なのですが定石通り微分して接点置いて接線もとめて
(傾き)×(傾き)＝-1
を使ってやろうとしても四次方程式になってしまい、
答えの
y=(1+√2)x
になりません。↓なにか特殊な方法があるのでしょうか？
解説おねがいします＞＜

No.1 回答者： pocopeco 回答日時： 2007/03/17 18:10

接点（a, a+1/a）

接線の傾き　1-1/(a^2)
法線の傾き　-1/(1-1/(a^2))

法線　y=　-1/(1-1/(a^2)) x

に接点（a, a+1/a）を代入して、整理すると、
2a^4-1=0

4次式ですが、2(a^2)^2=1
a^2=1/√2　

法線の式y=　-1/(1-1/(a^2)) x　に代入すると、
答えy=(1+√2)x
がでます

この回答へのお礼

ありがとうございます！助かりました。

お礼日時：2007/03/17 18:41

No.2 ベストアンサー 回答者： miniture_min 回答日時： 2007/03/17 18:29

y'＝x+1/x

法線をf(x)として、点x=aにおける法線は
f(a)'×y'=-1
よって、f(a)'=-a^2/(a^2-1)

f(x)=f(a)'×a+0=f(a)
f(a)=a+1/a=(a^2+1)/a

よって、-a^4=(a^2+1)(a^2-1)=a^4-1
2a^4-1=0
ここで、aは実数であるので、a^2=AとしてA>=0
2A^2-1=0より、A=1/√2

f(a)'=A/(1-A)=1/(√2-1)=1+√2
よって、f(x)＝(1+√2)x

この回答へのお礼

ありがとうございます！助かりました。

お礼日時：2007/03/17 18:42