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(1)曲線(例:y= a/(x - b)と固定点の(2)座標(0、0)があります。

(1)曲線と(2)固定座標が「最短距離となる曲線上の座標(1)」の計算方法を教えて頂けないでしょうか?

A 回答 (3件)

No.2です。

誤記を訂正します。失礼しました。

誤:(1) を変形するとp≠0 のとき(p-b)^3=a/p が成り立ちます。
正:(1) を変形するとp≠0 のとき(p-b)^3=a^2/p が成り立ちます。

誤:双曲線y2=a/x
正:双曲線y2=a^2/x
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ご質問の曲線y=a/x-b はa≠0のとき、漸近線がx軸(y=0)とx=bの直角双曲線です。

原点(0,0)からの距離が最小の点を求めるには、原点からの距離(または距離の2乗)を表す関数を作り、微分法を使って最小値を求めるNo.1の方の方法が一般的でしょう。

ここでは簡単に解の見当をつける方法を考えてみました。まず思いつくのはy=a/x-bのグラフを紙(またはパソコンの画面)に描いて、原点を中心としてこの双曲線に外接する円を目分量で描くことです。この円の半径が求めたい距離です。目分量なので数学的な厳密さを欠きますが、大まかな見当はつきます。

もう少し理屈を考えたのが以下の方法です。双曲線y=a/x-b上の点P(p,a/p-b)で原点を中心とする円と外接するとすれば、点Pを通る双曲線と円の両方に共通の接線が引けます。双曲線の式をxで微分するとy'=-a/(x-b)^2なので、共通接線の傾きは-a/(p-b)^2 です。また原点Oと接点Pを結ぶ円の半径の線分の傾きは(a/(p-b))/p=a/(p(p-b))で、この半径OPは共通接線と垂直なので-a/(p-b)^2 ×a/(p(p-b))≂-1 が成り立ちます。

これを整理するとp(p-b)^3-a^2=0 …(1) です。ここでx=p-bとすると4次方程式x^4-bx^3-a^2=0になります。4次方程式なので代数的に解けることは解けますが、ものは試しと「計算サイト」で解いてもらったところ、解はここに書き写せないほど平方根・立方根・4乗根が複雑に登場する数式になりました。

そこで(1)をグラフで解くことにします。(1) を変形するとp≠0 のとき(p-b)^3=a/p が成り立ちます。これはすなわち、3次関数y1=(x-b)^3 と双曲線y2=a/x のグラフの交点を意味します。なので双曲線y=a/x-bのグラフに、3次関数y1=(x-b)^3 と双曲線y2=a/x のグラフを描き加えます。y1とy2のグラフの交点Qからx軸に垂線を下ろし、元々の双曲線y=a/x-bのグラフとの交点が求める接点Pで、原点Oとの距離OPが求めたい最短距離です。下のグラフはa=1,b=-1 の場合で、OP≒0.8182です。
「曲線と座標が最短距離となる直線の座標につ」の回答画像2
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一般論としては曲線y=f(x)上の点P(p,f(p))と定点C(x0,y0)の距離



L=√[(p-x0)^2+(f(p)-y0)^2]

を最小にする点Pを求めればよい。

(例)

曲線y=f(x)=a/(x-b)と点C(0,0)の距離Lが最小となる点P(p,f(p))を求める。

f(p)=a/(p-b)

L=√[(p-0)^2+(f(p)-0)^2]=√[p^2+f(p)^2]=√[p^2+(a/(p-b))^2]

Lをpで微分して

dL/dp=(1/2){√[p^2+(a/(p-b))^2]}^(-1/2)[2p-2a^2/(p-b)^3]

Lが最小となるのはdL/dp=0の場合で

p(p-b)^3-a^2=0   (1)

を満たすpがLの最小値を与える。

(1)はpの4次式で解析的に解ける場合は限られている。

-解ける場合の例-

b=0,a>0

P=±√a, f(p)=±√a, L=√2a
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この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
大変分かり易い回答ありがとうございました。

お礼日時:2014/09/19 01:18

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曲線と点の最短距離の出し方について調べていますがわかりません。
最短距離にある曲線上の点が求められれば三平方で求められることはわかります。

例えば
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宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

曲線 y = -2x^2+16x-2 上の点の座標は (x, -2x^2+16x-2) と書けるから, この点と P との距離 (の 2乗) を最小化すればいい. 高校の微分の問題だな.

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(1)曲線と(2)固定座標が「最短距離となる曲線上の座標(1)」の計算方法を教えて頂けないでしょうか?

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xをパラメータとすると,曲線上の点は(x,a/x+b):1/1000は簡単のためa,bの中に入れました.
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Q曲線の長さ

平面上の曲線の任意の区間の長さを求める場合、
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 例えば2次元ユークリッド平面上の三次ベジェ曲線上の点の座標(x,y)は、パラメータt∈[0,1]を用いて
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と表せます。ここに(Px[1],Py[1]),....,(Px[4],Py[4])は「アンカー」の座標です。
 で、この曲線のながさ(「みちのり」と言います)は
L=∫{t=0~1} √((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt
で与えられます。

dx/dt = -3 Px[1] ((1-t)^2) - 6Px[2] (1-t) + 3 Px[3] (2- 3t) + 3Px[4] (t^2)
dy/dtもおんなじことですね。

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 例えば2次元ユークリッド平面上の三次ベジェ曲線上の点の座標(x,y)は、パラメータt∈[0,1]を用いて
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y(t) = Py[1] ((1-t)^3) + 3Py[2] ((1-t)^2) + 3 Py[3] (1-t)(t^2) + Py[4] (t^3)
と表せます。ここに(Px[1],Py[1]),....,(Px[4],Py[4])は「アンカー」の座標です。
 で、この曲線のながさ(「みちのり」と言います)は
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Q速いボールや強いボールを打ち返すには?

最近テニスをやり続けているのでちょっとはうまくなったかなと思っていました。
でもちょっとうまい人とやってみたら、ボールが速くて強いのでうまく打ち返せませんでした。

一応、ボールを打ち返してはいるのですが、打点が微妙に後ろになってるか、
スイートスポットを外れているといった感じに自分では思えます。
やっているうちに、ラケットの引きも意識して早くし、速さには慣れて来た感じがしました。

でも、ボールの強さに負けまいとするとフォームが乱れているように自分では感じられました。
(彼が打つボールは、昔の人なのでトップスピンでは無く、フラット系です。
 身長も高く上から打ち下ろす感じです。どちらかというとサイドスピンがかかってます。)

ボールに負けないようにすると、うまく順回転を掛けることが出来るフォームではなく、
ボールを押し返すほうに力が入りやすいフォームになり、ボールがオーバーすることも
多かった気がします。

うまい人といつもやれば、少しずつ慣れて来るのかもしれないですが、
なかなかそうもいかず、何かアドバイスをいただけたらうれしいです。

最近テニスをやり続けているのでちょっとはうまくなったかなと思っていました。
でもちょっとうまい人とやってみたら、ボールが速くて強いのでうまく打ち返せませんでした。

一応、ボールを打ち返してはいるのですが、打点が微妙に後ろになってるか、
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やっているうちに、ラケットの引きも意識して早くし、速さには慣れて来た感じがしました。

でも、ボールの強さに負けまいとするとフォームが乱れているように自分では感じられました。
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Aベストアンサー

テニス歴25年の者です。今も週一でスクールに通っています。
質問の件ですが、フォアとバックで対処は違いますし、余裕がある時と、押し込まれた時でも対処が違います。
全てを回答しますと、長々となりますし、コメントを読んでいますと、ドカーンときたボールをドカーンと返したいような気がしましたので、そちらを主に回答します。
フォアの場合
(1)ひざを曲げ、腰を落とす。
(目線がネットの高さに近づきますし、相手がフラット系ですので、打球の高さにある程度合わせた方が、球を捉えやすいです。また瞬時に反応しやすいです。)

(2)テイクバックはコンパクトに。
(大きく振りかぶると振り遅れます。)

(3)スイングを開始し、右ききの場合、左足のつま先の20~30cm前方でボールを捉える。
(ちょっと前めでという意識で。)

なぜ前方で捉えるかというと、スイングの遠心力により、前めで捉えた方が、パワーが増している点と、十分腕が伸びている方が、差し込まれないためです。

(4)ボールを捉える寸前から、フォロースルーの間にひざを徐々に伸ばし、腰の位置を上げていく。

(5)フォロースルーはボールの弾道の方向にそのままラケット面をキープしながら、腕を伸ばす。

(6)最後にラケットを頭の位置まで持っていく。
(手の甲が顔の横に来る程度)

スイングは後を小さく、前を大きく。という感じです。
変に回転をかけようとはしてはいけません。

質問にある通り、押し返す感じでいいです。
ただ、そうすると、フラットに近くなるので、スイングの過程でひざを伸ばし、上体を上に伸ばすことにより、自然な順回転がかかるようになります。

また少しラケットを下から振り出すようにするのも必要です。

問題は、前めでボールを捉えるあまり、ベースラインに下がりすぎることです。浅いボールに対処できません。

ですから、是非、ライジングショットを身につけてください。そうすれば、下がりすぎることなく返球できます。
また、ライジングショットで返球すると、相手の球が速い分、相手にすぐ戻って行きます。多分相手は振り遅れるでしょう。

バックの場合、逆襲するのは困難です。
あなたはバックハンドはダブルハンドですか?
ダブルハンドであれば、ブロックするだけで十分です。
「当てるだけ?」と思われるかもしれませんが、ブロックといえど、スイングはしているのです。
私はシングルハンドですが、やはりパワー負けします。
スライスで返そうとすると、浮く危険があるので、サイドスピンで返すようにしています。
(1)テイクバックを小さくしラケットを立てない。
(2)グリップから振り出す。
(3)ボールが当った瞬間、ラケットを左から右へ平行にスライドさせる。

こんな感じでしょうか。
ライジングショットの方法については割愛させて頂きます。
疑問であれば、また質問してください。

テニス歴25年の者です。今も週一でスクールに通っています。
質問の件ですが、フォアとバックで対処は違いますし、余裕がある時と、押し込まれた時でも対処が違います。
全てを回答しますと、長々となりますし、コメントを読んでいますと、ドカーンときたボールをドカーンと返したいような気がしましたので、そちらを主に回答します。
フォアの場合
(1)ひざを曲げ、腰を落とす。
(目線がネットの高さに近づきますし、相手がフラット系ですので、打球の高さにある程度合わせた方が、球を捉えやすいです。ま...続きを読む

Q大学院の面接(口述)試験について

2週間後に大学院の試験を受けます。
そこで、2つ質問があるのでご教授ください。

ちなみに、大学→他大学院(専攻も変わります)です。

まず、どのような質問がされるか教えてください。
過去ログを見て

・志望理由
・なぜ、専攻を変えたか
・なぜ、この大学か

などが聞かれると書いてありました。
他にはどのようなことが聞かれるのでしょうか?
時間は、大体20分あるのでたくさん質問されると思うのですが・・・。


次に、自己PRや志望理由等で一言一句暗記してそのまま言うのは印象が悪いとあったのですが、これはどうなのでしょうか。
たしかに、自分が面接官で暗記したのを言われたらあまりよい印象はもてないと思います。
しかし、自己PRや志望理由は暗記しかないと思うのです。

以上、2つお願いします

Aベストアンサー

大学院で専攻が変わりましたので、参考にして下さい。
時間は20分、面接官は3~4人でした。

まず聞かれたのが志望理由ですが、願書と一緒に小論文として志望理由を書いていましたので、その内容を話しました。
もちろん、一言一句暗記ではありませんが、内容(というか、あらすじ)は小論文と同じです。
先生方は小論文を読みながら聞いていました。
多分、書いてある内容と言っている内容が違った場合はここで突っ込まれるのだと思いました。
丸暗記でない点は、詳しく書かなかった部分を補足して説明したり、書いてあるとおりの内容は割愛して説明した点です。

・志望理由
・なぜ、専攻を変えたか
・なぜ、この大学か
以外で聞かれたことですが、卒業研究の内容と、これからやりたい分野の知識を聞かれました。

卒業研究の内容はこれからの分野とはあまり関係がない分野でしたが、「ちゃんと理解してやっているか」を見られたのだと思います。
自分が分かっていなければ、分野の違う先生方に説明することはできませんので。
これについては、「卒業研究の先生の前で後輩に説明する」という場面を想像して練習しました。
(専門家にも分野の違う人にも分かってもらうため)

これからやりたい分野の知識は、小論文の中で分かりにくい点があったため、突っ込まれました。
そのように書いた根拠(ある文献の名前)を出したので、結果としては「それだけ勉強している」と取られたようです。

大学院で専攻が変わりましたので、参考にして下さい。
時間は20分、面接官は3~4人でした。

まず聞かれたのが志望理由ですが、願書と一緒に小論文として志望理由を書いていましたので、その内容を話しました。
もちろん、一言一句暗記ではありませんが、内容(というか、あらすじ)は小論文と同じです。
先生方は小論文を読みながら聞いていました。
多分、書いてある内容と言っている内容が違った場合はここで突っ込まれるのだと思いました。
丸暗記でない点は、詳しく書かなかった部分を補足して説...続きを読む

Q燃焼熱から生成熱を求めるとき

炭素・水素・メタンの燃焼熱から、メタンの生成熱を求めるとき、「メタンの生成熱=炭素の燃焼熱+水素の燃焼熱ーメタンの燃焼熱」で答えが導き出せるようなのですが、どうしてこのようにしてメタンの生成熱が求まるのかがわかりません。
炭素の燃焼熱=二酸化炭素の生成熱、水素の燃焼熱=水の生成熱だということは分かります。

これは、(反応熱)=(生成物の生成熱の和)-(反応物の生成熱の和)という式と何か関係があるのでしょうか。

また、基礎的なことなのですが、生成物はどういったもので、反応物はどういったものだという理解ができていません。簡単に言うと、生成物とは何で、反応物とは何なのでしょうか。

教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>簡単に言うと、生成物とは何で、反応物とは何なのでしょうか。
読んで字のごとくです。そのままです。日本語の問題です。
生成物とは生成する物で、反応物とは反応する物です。
反応物が反応して、生成物が生成します。化学反応式では
 反応物 → 生成物
です。

>どうしてこのようにしてメタンの生成熱が求まるのかがわかりません。
ヘスの法則(総熱量保存の法則)は理解していますか?
反応熱の総量を考える場合、どんな道筋をたどろうと、最初と最後の物質で決まると言うものです。
この法則より、炭素や水素を燃やしてしまうときの反応熱(1)と、炭素と水素からメタンを一旦作る反応熱+メタンを燃やしてしまうときの反応熱(2)は等しくなるはずです。つまり、
Cの燃焼熱+H2の燃焼熱(2mol分)=メタンの生成熱+メタンの燃焼熱

なお、
>(反応熱)=(生成物の生成熱の和)-(反応物の生成熱の和)という式
を知っているのならできないはずがないと思います。
メタンの燃焼の熱化学方程式
 CH4 + 2 O2 = 2 CO2 + 2 H2O + Q
をそのままその式に当てはめればよいのです。
 反応熱Q=(CO2とH2Oの生成熱の総和)-(CH4とO2の生成熱の総和)
生成熱は、(最も安定な)単体から作るときの反応熱なのは当然理解していますよね。
ではO2の生成熱が0となることも自明ですよね。

>簡単に言うと、生成物とは何で、反応物とは何なのでしょうか。
読んで字のごとくです。そのままです。日本語の問題です。
生成物とは生成する物で、反応物とは反応する物です。
反応物が反応して、生成物が生成します。化学反応式では
 反応物 → 生成物
です。

>どうしてこのようにしてメタンの生成熱が求まるのかがわかりません。
ヘスの法則(総熱量保存の法則)は理解していますか?
反応熱の総量を考える場合、どんな道筋をたどろうと、最初と最後の物質で決まると言うものです。
この法則より、...続きを読む

Q曲面と点の距離

曲面と点の距離

二葉双曲面の片側(z>0)と点との距離の求め方を教えてください。

例 x^2+y^2-Z^2+1=0 (3/√2,3/√2,-√2)

Aベストアンサー

x^2+y^2-z^2+1=0…(1)
xdx+ydy-zdz=0
法線ベクトル:(x,y,-z)
(1)上の点(a,b,c)を通る法線(c>0)の媒介変数表現は
(x,y,z)=(a,b,c)+t(a,b,-c) (c>0) …(2)
これが点(3/√2,3/√2,-√2)
を通ることから
(3/√2,3/√2,-√2)=(a,b,c)+t(a,b,-c)
∴a= (3/√2)/(1+t), b=(3/√2)/(1+t), c=(√2)/(t-1) …(3)
c>0より t>1…(4)
(a,b,c)は(1)の点であるから(1)に代入して
{(3/√2)/(1+t)}^2+{(3/√2)/(1+t)}^2-{(√2)/(t-1)}^2+1=0
整理すると
t^4-5t^2-22t+8=0
(t-2)(t^3+2t^2+9t-4)=0
(t-2){(t-1)(t^2+3t+12)+8}=0
(4)より t>1なので{(t-1)(t^2+3t+12)+8>0
∴t=2
(3)より
 a=b=1/√2,c=√2
点(3/√2,3/√2,-√2)と二葉双曲面の片側(z>0)との距離Lは
は点(3/√2,3/√2,-√2)と点(a,b,c)=(1/√2,1/√2,√2)間の
距離であるから3平方の公式から
 ∴L=√(2+2+8)=2√3

図を添付します。

x^2+y^2-z^2+1=0…(1)
xdx+ydy-zdz=0
法線ベクトル:(x,y,-z)
(1)上の点(a,b,c)を通る法線(c>0)の媒介変数表現は
(x,y,z)=(a,b,c)+t(a,b,-c) (c>0) …(2)
これが点(3/√2,3/√2,-√2)
を通ることから
(3/√2,3/√2,-√2)=(a,b,c)+t(a,b,-c)
∴a= (3/√2)/(1+t), b=(3/√2)/(1+t), c=(√2)/(t-1) …(3)
c>0より t>1…(4)
(a,b,c)は(1)の点であるから(1)に代入して
{(3/√2)/(1+t)}^2+{(3/√2)/(1+t)}^2-{(√2)/(t-1)}^2+1=0
整理すると
t^4-5t^2-22t+8=0
(t-2)(t^3+2t^2+9t-4)=0
(t-2){(t-1)(t^2+3t+12)+8}=0
(4)より t>1なので...続きを読む

Q2つの放物線間の最短距離

2つの放物線間の最短距離をラグランジュの未定乗数法を用いて求める方法を教えていただけないでしょうか.

2つの式はそれぞれ y=x^2・・・(1) y=-3(x-1)^2・・・(2) です.

個人的には
式(2)上の1点を(a,b)と置く.
式(1)上の任意の一点(x,y)との距離を√(x-a)^2+(x-b)^2 と表す.
f(x,y)=√(x-a)^2+(x-b)^2 g(x,y)=y-x^2=0 と置き,ラグランジュの未定乗数法を用いて(a,b)でのf(x,y)の最小値を出す.
aについての増減表を書いて最短距離と放物線上の2点を求める.
という方法で求められるのではないかと思ったのですが,最小値を求めることができませんでした.

図書館などで微積分の演習書を全部調べましたが同じような問題を見つけることができず,困っています.
宜しくお願いします.

Aベストアンサー

f(x,y)は√を取らないで距離の自乗を使い、最小化します。
今の場合、(2)上の点(a,b)も動くパラメータなので
 f(x,y,a,b)=(x-a)^2+(x-b)^2 ...(3)
と置きます。
自乗を使う方が計算が複雑にならないで済みます。
結果の最小値の√をとれば最小距離が得られます。

拘束条件は
 g(x,y)=y-x^2=0 ...(4)
 h(a,b)=b+3(a-1)^2=0 ...(5)
です。ラグランジュの未定乗数法の評価式を
 F(x,y,a,b)=f(x,y,a,b)-λ_1*g(x,y)-λ_2*h(a,b) ...(6)
とおいて,Fをx,y,a,b,λ_1,λ_2で偏微分した式を=0とおいて
 2(λ_1 +1)x-2a=0 ...(7)
 2y-λ_1 -2b=0 ...(8)
 -2x+6(1-a)λ_2 +2a=0 ...(9)
 -2y-λ_2 +2b=0 ...(10)
 y-x^2=0 ...(4)
 b-3(a-1)^2=0 ...(5)
この連立方程式の実数解の組(x,y,a,b,λ_1,λ_2)を求めるとただ一組みだけ存在し、その解の組みは
 (x,y,a,b,λ_1,λ_2)=(1/2,1/4,5/6,-1/12,2/3,-2/3)
となります。
この時、
 f(x,y,a,b)=f(1/2,1/4,5/6,-1/12)=2/9
距離の最小値は√をとって
 距離の最小値√2/3 となる。

この様子を添付図の示します。
 この距離が最小となる時の、グラフ上の点を
(1),(2)のグラフ上にプロットしてみた図を見れば距離が最小になっていることが確認できます。
(2)のグラフ上に点A(a,b)=(5/6,-1/12)、
(1)のグラフ上に点B(x,y)=(1/2,1/4)
を白抜き青丸で描き、2点AB間を青線で結んであります。

なお、この最小距離の時、直線ABは(1),(2)の共通法線になっています。
つまり、点Bにおける(1)の法線と点Aにおける(2)の法線が一致する
場合が距離最小になる場合であるということを意味します。
なので、この問題をラグランジュの未定乗数法を使わないで解くには、(1)上の点(x,y)における(1)の法線と,
(2)上の点(a,b)における(2)の法線
とが一致するように(x,y)と(a,b)を決定し、それを使って
 最小距離=√{(x-a)^2+(y-b)^2}
を求めれば良いです。

f(x,y)は√を取らないで距離の自乗を使い、最小化します。
今の場合、(2)上の点(a,b)も動くパラメータなので
 f(x,y,a,b)=(x-a)^2+(x-b)^2 ...(3)
と置きます。
自乗を使う方が計算が複雑にならないで済みます。
結果の最小値の√をとれば最小距離が得られます。

拘束条件は
 g(x,y)=y-x^2=0 ...(4)
 h(a,b)=b+3(a-1)^2=0 ...(5)
です。ラグランジュの未定乗数法の評価式を
 F(x,y,a,b)=f(x,y,a,b)-λ_1*g(x,y)-λ_2*h(a,b) ...(6)
とおいて,Fをx,y,a,b,λ_1,λ_2で偏微分した式を=0とおいて
 2(λ_1 +1)x-2a=0 ....続きを読む


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