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曲線と点の最短距離の出し方について調べていますがわかりません。
最短距離にある曲線上の点が求められれば三平方で求められることはわかります。

例えば
y= -2x^2+16x-2
の曲線と
座標A(6,40)
の最短距離の求め方を教えて下さい
計算方法というか途中経過も含めて教えていただきたいです。

宜しくお願い致します。

「曲線と点の最短距離の出し方」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • すみません、微分を忘れてしまっているためどこから手をつけたらよいかわかっていません。
    よければもう少し噛み砕いて書いていただけませんでしょうか?

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/08/06 14:15
  • すみません、微分を忘れてしまっているためどこから手をつけたらよいかわかっていません。
    よければもう少し噛み砕いて書いていただけませんでしょうか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/08/06 14:15
gooドクター

A 回答 (4件)

曲線 y = -2x^2+16x-2 上の点の座標は (x, -2x^2+16x-2) と書けるから, この点と P との距離 (

の 2乗) を最小化すればいい. 高校の微分の問題だな.
この回答への補足あり
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数十年前に微分・積分方程式習ったことはもう忘れてしまい、近似値で糸を使い曲線距離を測り、それを拡大縮尺して値を求める。

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> どこから手をつけたらよいか



微分の復習をするところから。
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曲線上の点と点Pとを最短距離で結ぶ直線は、曲線の法線(曲線上の点において、その点での接線と直交する直線)になっている。


 なので、f(x)=2x^2+16x-2 と書くと、f(x)のxによる微分を計算すれば、曲線y=f(x)上の点(s,f(s))における法線の方程式g(x,y)=0が分かり、g(x,y)はsやf(s)を係数として含む式になる。
 さて、点Pの座標を(p,q)とすると、g(p,q)=0であるとき、(s,f(s))における曲線の法線は点Pを通る。そこでg(p,q)=0をsを変数とする方程式だと思って解けば、曲線と点Pを最短距離で結ぶ直線と曲線との交点(s,f(s))が分かる。

…というやり方でも、(s,f(s))と(p,q)の距離の2乗を最小化する、というやり方と同じ方程式にたどり着く(はず)。
この回答への補足あり
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