y'=ax^2+bx^1+cを微分の定義にいれて任意の点を通る接線は何を表すのでしょうか？ また、y

y'=ax^2+bx^1+cを微分の定義にいれて任意の点を通る接線は何を表すのでしょうか？
また、y'=ax^2+bx^1+cに接線を引いた場合、その接線は何を表すのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/08/30 00:48

私の浅薄な知識だと、微分した式のその接線に一般的な重大な意味があるとは思えません。

微分した式の、ある点での傾きが正か０か負かということには大きな意味があると思いますが。

そもそも、ｙ＝(ｘ＋１)(ｘ)(ｘ－１)
という式があったとき、この接線は何を意味するでしょうか？
ｘ＞１のどこかでの接線を見て、接点よりｘが大きい箇所で、ｙはこの接線よりは大きいな、というくらいは判るでしょうけど。
普通は、接線以上に、傾きを見ませんかね。
微分した物も同様で。
速度加速度といった場合も、傾きを見ているでしょうし。

もっとずっとレベルの高いところでどうかということは知りませんけど。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/08/29 10:50

yを2回微分したものに関することでしょうか？

1回微分したy'からは、元の関数y=f(x)の任意の点における傾きを求めることができます。言い換えれば、y=f(x)の任意の点における増減の割合(変化の割合）が分かります。
これはいいですよね。
これと同様で、2回微分したy''からは2回目の微分を行う前の関数y'(f'(x))の任意の点における増減の割合(傾き）が分かります。
何回微分したということは関係なしに、微分後の関数は微分前の関数の任意の点における増減の割合を知る手がかりになるということです。
さて、2回目の微分を行う前の関数y'(f'(x))の任意の点における増減の割合（y'の任意の点を通る接線の傾き）　とはどういう事か？
y'はｙの傾きでした。
なので、ｙ’の増減とはyの傾きの増減という事です。
つまりy''から、yの傾きがｘの増加によってどう変化するかわかるという事です。
ｘの増加によって、yの傾きが増加する場合（y''>0)の例としては　、y=ax²のような下に凸の放物線が考えられます。
この放物線に、実際にいくつも接線を引いてみてください。ｘの増加に伴い接線の傾きも大きくなり増加していることが納得できると思います。逆に言えば、yの傾きが増加する場合、関数(曲線）y=f(x)は下に凸という事です。
反対にyの傾きが減少する場合(y''<0)、関数(曲線）y=f(x)は上に凸です。

これをもう少し正確な表現にすると
「曲線y=f(x)のグラフはf''(x)>0の区間では下に凸、f''(x)＜0の区間では上に凸」・・・定理
という事になります。

要するに
「y'=ax^2+bx^1+cを微分の定義にいれて任意の点を通る接線※の傾き
y'=ax^2+bx^1+cに接線を引いた場合、その接線※の傾き」
から曲線の凹凸の様子が分かるという事になると思いますが、質問の意図に合っていますでしょうか？

ちなみに速度、加速度に限定すれば
y'=ax^2+bx^1+c
の式に登場する文字、yを(位置)ｘに
xを(時刻)tに置き換えて
x=f(t)としてあげると
この関数を1回微分したf'(t)は速度
2回微分したf''(t)は加速度　を表します。
なので関数f'(t)の任意の点を通る接線は、その傾きが加速度、
接線自体は加速度を仮に一定に保った場合、速度が時間経過によってどのように変化するか　
という事を示します。
つまり接線自体は、任意の点における加速度のまま等加速度直線運動を続けた場合の速度の様子を表します。
これを参考に、y'=ax^2+bx^1+cの接線の意味を考えてみるのも良いかも。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/08/29 09:31

任意の点を通る接線は直線で傾きはax^2+bx^1+cです。

これから曲線の特徴を探ったりします。
例：微分する前の式ｙに頂点があればax^2+bx^1+c＝０から頂点（ｘ₁、ｙ₁）が求まります。