数学の極限の問題です。 limx→0sin^-1x／sinx この極限を教えて下さい！

数学の極限の問題です。

limx→0sin^-1x／sinx

この極限を教えて下さい！

No.2 ベストアンサー 回答者： diff3356 回答日時： 2018/04/28 20:42

f(x)=arcsin(x)/sin(x) と解釈します。

arcsin(x)=x+(1/6)x^3+(3/40)x^5+...,
sin(x)=x-(1/3!)x^3+(1/5!)x^5-....
と展開されるので、
x≠0 のとき、f(x)={1+x^2/6+..}/{1ーx^2/6+...}→1, (x→0)
です。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/29 09:11

別の考え方もありますので紹介しておきましょう。

sinx=f(x)として両辺を微分すると、
cosｘ＝ｆ’（ｘ）でｘ＝０の接線の傾きは１になります。よって、接線の式は（原点を通るので）ｙ＝Xです。
arcsin(x)=f(x)として両辺を微分すると、
１/√（１－x²）=f’(x)でｘ＝０の接線の傾きは１になります。よって、接線の式は（原点を通るので）ｙ＝Xです。
よって、
limx→0arcsin(x)/sinx＝ｘ/x=1、（arcsin(x)/sinxはｘが０の近傍においてｘ/xに等しい）
になります。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/04/28 18:57

lim(x→0){sin⁻¹x/sinx}＝1