曲C:y=x^3e^(-x)の概形をかけ。 原点を通り傾きが正の直線lは、曲線Cに点Pで接している。

曲C:y=x^3e^(-x)の概形をかけ。

原点を通り傾きが正の直線lは、曲線Cに点Pで接している。このとき、lの方程式およびPの座標を求めよ。

分かる方解説をおねがいします…m(__)m

No.1 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/26 09:11

ｙ’＝３ｘ²e^(-x)-x³e(-x)=0から、増減はｘ＜０：＋、ｘ＝０：０、０＜ｘ＜３：＋、ｘ＝３：０

　　　ｘ＞３：－
ｙ’’＝６ｘe^(-x)ー３ｘ²e^(-x)-３ｘ²e(-x)＋ｘ³e(-x)=ｘe(-x)（ｘ²－６ｘ＋６）＝０
　　　変曲点はｘ＝０、３－√３、３＋√３
曲線ｙはｘ＜０で第３象限にあって、ｘ＝０まで増加し、ｘ＝０で変曲点を経てまたｘ＝３－√３まで増加して
ｘ＝３－√３で変曲点を経てｘ＝３まで増加し、ｘ＝３で極値、その後第１象限で減少になって、ｘ＝３＋√３
で変曲点を経て、漸近線ｙ＝０に近ずく。

原点を通り傾きが正の直線lは、曲線Cに点Pで接している。概形から点は３－√３＜ｘ＜３にある。
接線ｙ＝aｘと曲C:y=x^3e^(-x)の接点を（ｋ、ｋ³e^(-k))とするとｘ＝ｋでの傾きは
y'=3k²e^(-ｋ)-ｋ³e(-ｋ)
Ｉ＝axとすると
I=（3k²e^(-ｋ)-ｋ³e(-ｋ)）x
（3k²e^(-ｋ)-ｋ³e(-ｋ)）ｋ＝ｋ³e^(-ｋ)
3k²e^(-ｋ)-ｋ³e(-ｋ)ーｋ²e^(-ｋ)＝０
ｋ²e^(-ｋ)（２－ｋ）＝０よってｋ＝２
従って、Ｉ＝４e⁻²ｘ、点Ｐの座標は（２、８e⁻²）
です。