A 回答 (5件)
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No.5
- 回答日時:
#3です。
>β-y'αが一致する理由教えてほしいです。
日本の直線y=ax+b,y=cx+dが一致するには
a=c (1)
b=d (2)
が必要十分条件です。β-y'αは(2)に当たります。
わからなければ教科書をよく読んでください。
No.4
- 回答日時:
2曲線が接するとは、共有点において両曲線の接線が一致する
ということです。接点の x 座標を t として、
y=x^3-2x+1 の接線は y=(3t^2-2)(x-t)+(t^3-2t+1)、
y=x^2+2ax+1 の接線は y=(2t+2a)(x-t)+(t^2+2at+1)。
接線が一致するような t の在る a を探せばよい訳です。
その条件は、
(3t^2-2)=(2t+2a) かつ (t^3-2t+1)=(t^2+2at+1) です。 ←[*]
(t^3-2t+1)=(t^2+2at+1) は、展開整理して
t{t^2-t-2(a+1)}=0 となります。
共通解 t が t=0 である場合とそうでない場合に場合分けして…
t=0 の場合、[*]の条件は -2=2a かつ 1=1 となります。
これを満たす a は、a=-1 です。
t≠0 の場合、[*]の条件は
3t^2-2t-2(a+1)=0 かつ t^2-t-2(a+1)=0 となります。
両方の式から 2(a+1) を消去して、2t^2-t=0 です。
これを解いて、t=0 または t=1/2。
t=0 は上述なので、t=1/2 の場合を考えると、[*]の条件は
-5/4=1+2a かつ 1/8=(5/4)+a です。
これを満たす a は、a=-9/8 です。
以上をまとめると、
2曲線が接する a は、a=-1 または a=-9/8 となります。
No.3
- 回答日時:
y=x^3-2x+1 (1)
y=x^2+2ax+1 (2)
これらが点(α,β)で共通接線を持つ条件を求める。
接戦の式は
y-β=y'(x-α)
すなわち
y=y'x+β-y'α
点(α,β)における(1),(2)のy'、β-y'αが一致することが必要である。
(1)y'=3x^2-2=3α^2-2 (3)
β=α^3-2α+1
β-y'α=α^3-2α+1-(3α^2-2)α=1-2α^3 (4)
(2)y'=2x+2a (5)
β=α^2+2aα+1
β-y'α=1-α^2 (6)
(3)=(5)より
a=3α^2/2-α-1 (7)
(4)=(6)より
2α^3-α^2=0
α=1/2またはα=0
α=1/2のとき(7)よりa=-9/8
α=0のとき(7)よりa=-1
QED
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