こういう問題のときあなただったらどうやって解きますか？

こういう問題のときあなただったらどうやって解きますか？
放物線ｙ＝ｘ^2上の２点Ａ、Ｂにおいてそれぞれ接線を引きその交点をＰとする。
このとき、２点Ａ，Ｂが∠ＡＰＢ＝Π／４を満たしながら動くとき点Ｐの軌跡を求めよ。
僕はこの問題をベクトルを使って解いたんですけど、計算量が膨大になってしまいました。
この問題は何を使って解いたらいいですか？
解き方を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2010/09/14 23:04

y=x^2より

y'=dy/dx=2x

点A(a,a^2)での接線は
y-a^2=2a(x-a)
y=2ax-a^2 (1)

点B(b,b^2)での接線は
y-b^2=2b(x-b)
y=2bx-b^2　(2)

b>aとする。
(1),(2)の交点がP(X,Y)
(1),(2)を連立して
X=(a+b)/2 (3)
Y=ab　　　　(4)


∠ＡＰＢ＝∠Ｂ-∠Ａ
∠Ａ、∠Ｂは各々接線(1),(2)がｘ軸となす角（傾き）
tan∠Ａ=2a,
tan∠Ｂ=2b

tan(∠ＡＰＢ)=tan(∠A-∠B)=(tan∠A-tan∠B)/(1+tan∠Ｂ・tan∠Ａ）
=(2a-2b)/(1+2b2a)=tan(π/4)=1
2(a-b)=1+4ab (5)

b>aより(5)の右辺<0
つまり1+4ab <0　(6)
この条件下で(5)＾2は

4((a+b)^2-4ab)=(1+4ab)^2
(3),(4)を代入して
16X^2=16Y+(1+4Y)^2
整理して

2(Y+3/4)^2-2X^2=1 (7)
(6)より
Y<-1/4

よって双曲線(7)の下側。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2010/09/15 09:31

＞この問題は何を使って解いたらいいですか？

交角がπ/4という指定なら良いが、∠ＡＰＢ＝Π／４であるから補角の3π/4の処理が嫌なので、こんな時は余弦定理を使うほうが良いだろう。

Ａ(α、α＾2)、Ｂ(β、β＾2)　α≠β　とすると、各々の接線の方程式は、y＝2αx-α＾2、y＝2βx-β＾2であるから、連立して点Ｐの座標を求めると、α≠βから　2x＝α＋β、y＝αβ　‥‥(1)
∠ＡＰＢ＝Π／４から、△ＡＢＰに余弦定理を使うと、ＡＢ＾2＝ＡＰ＾2＋ＢＰ＾2-2ＡＰ*ＢＰ*cos(Π／4)　‥‥(2)
ＡＰ＾2＝(α－β)＾2*{1＋4α＾2}/4、ＢＰ＾2＝(α－β)＾2*{1＋4β＾2}/4、ＡＢ＾2＝(α－β)＾2*{1＋(α＋β)＾2}であるから、(2)に代入すると、√2*√(1＋4α＾2)*√(1＋4β＾2)＝-2(1＋4αβ)　となる。
これは、1＋4αβ≦0、and、(1＋4α＾2)*(1＋4β＾2)＝2(1＋4αβ)＾2　と同値。‥‥(3)
後は、(3)に(1)を代入するだけ。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/09/14 22:51

>この問題は何を使って解いたらいいですか？

2接線を接点の座標をそれぞれA(a,a^2),B(b,b^2)として
y=2ax-a^2
y=2bx-b^2
(a≠b)
とおき、2接線の偏角をそれぞれα,βとおくと
tanα=2a,tanβ=2b
-π/2<α,β<π/2(α≠β)
とすると
2直線のなす角は α-β=π/4の条件は公式を適用して
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
1=2(a-b)/(1+4ab) ⇒ 2(a-b)=1+4ab…(1)
であらわすことが出来ます。
また、2接線の交点P(X,Y)は2接線の方程式から
X=(a+b)/2,Y=ab…(2)
となります。(1)を変形して
4{(a+b)^2-4ab}=(1+4ab)^2
(2)の関係を代入してa,bを消去すれば
4{4X^2-4Y}=(1+4Y)^2
これを整理すれば、双曲線の方程式が出てきます。
-2X^2+2(Y+3/4)^2=1
Pの座標の軌跡は、流通座標に直して
-2x^2+2(y+3/4)^2=1　（双曲線です）
として求められます。

軌跡の図を添付します。
赤線が軌跡
双曲線の上半分に対する接線対（接線と接線のなす角がπ/4rad=45°）と
双曲線の下上半分に対する接線対（接線と接線のなす角がπ/4rad=45°）と
を青線と緑線で書き込んであります。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2010/09/14 21:58

「ベクトルを使って解いた」というのは、π/4 を処理するのに

内積 ↑PA・↑PB を使ったということでしょうか？
それだと、PA や PB の長さを扱うのが面倒そうな気はしますね。
２接線の傾きと π/4 とで、tan の加法公式を使ったらどうですか？
２接点の x 座標を a, b とし、
2a = tanθ, 2b = tanφ と置いて…