tを正の実数とする。放物線G:y=1/2x^2上の点P(t,1/2t^2)におけるGの接戦lに、点A

tを正の実数とする。放物線G:y=1/2x^2上の点P(t,1/2t^2)におけるGの接戦lに、点A(0,3)から下ろした垂線の足をBとする。また,lと直交するGの接戦mに,点Aから下ろした垂線の足をDとし,lとmの交点をCとする。
(1)mの方程式を求めよ。
(2)長方形ABCDの面積Sをtを用いて表し、tが正の実数と全体を動くときのSの最小値を求めよ。
解答を教えてください。

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/08/17 18:54

(1) y=(1/2) x²

y'=x
点P( t , (1/2)t² ) における接線ｌの方程式は、
y-(1/2)t²=t(x-t)
y=tx-(1/2)t²……①

点Q( s , (1/2)s² ) におけるGの接線をmとすると、ｍの方程式は、
y=sx-(1/2)s²……②

ｌとｍは直交するので、
st=-1
s=-1/t (t>0)
②に代入すると、ｍの方程式は、
y=-(1/t)x-(1/2)(1/t²)
y=-(1/t)x-1/(2t²)……③

(2)
①より、
tx-y-(1/2)t²=0
点と直線の距離の公式を利用して、
AB=|-3-(1/2)t²|/√{t²+(-1)²}={(1/2)t²+3}/√(t²+1)

③より、
(1/t)x+y+1/(2t²)=0
AD=|3+1/(2t²)|/√(1/t²+1²)={1/(2t²) + 3}/√(1/t² + 1)

これより、
S=AB×AD
={(1/2)t²+3}/√(t²+1) × {1/(2t²) + 3}/√(1/t² + 1 )
={(1/2)t²+3}{1/(2t²) + 3}/√(t²+1)√{(1+t²)/t²}
={(1/4)+(3/2)t²+(3/2)(1/t²)+9}/{(t²+1)/t}
={(3/2)(t² + 1/t²)+(37/4)}/(t + 1/t)
={(3/2)(t + 1/t)²+(25/4)}/(t + 1/t)
=(3/2)(t + 1/t) + (25/4){1/(t + 1/t)}

相加相乗平均の公式を利用
(3/2)(t + 1/t)>0 , (25/4){1/(t + 1/t)}>0 より、
(3/2)(t + 1/t) + (25/4){1/(t + 1/t)}≧2√[(3/2)(t + 1/t)×(25/4){1/(t + 1/t)}]=(10√3)/(2√2)=(5√6)/2
等号成立は、
(3/2)(t + 1/t)=(25/4){1/(t + 1/t)}
(t + 1/t)²=25/6
t + 1/t=5/√6
t² - (5/√6)t+1=0
(t - 2/√6)(t - 3/√6)=0
t=2/√6 , 3/√6
=√6/3 , √6/2

したがって、Sの最小値は(5√6)/2　（t=√6/3 , √6/2 のとき）

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/08/16 12:00

(1) y=f(x)とおくと

f'(x)=xだから　Pにおける接線Lの傾きは
f'(t)=t
Lとmは直交だから　mの傾きをaとすれば
at=-1
a=-1/t
ゆえに　mとGの接点をQ(s,0.5s²)とおけば
f'(s)=a
s=(-1/t)
このことから　Qの座標は(-1/t,0.5/t²)とわかる
Qを通り傾きaの直線の方程式は
y-(Qのy座標)=a{x-{Qのx座標)}
だからaと座標を代入して整理すれば答え

(2)
ここまでで、L,Mの接線の方程式がわかるはずなので
点と直線の距離の公式を用いれば
ABおよびADの長さがわかる（AB=Aと直線Lの距離、AD=Aと直線ｍの距離)
よって　S=ABXADが求められる
どのような式になるか計算していないの私にはわからないが、ふつうはtの関数Sをｔで微分して増減表を作り
最小値を求めていくような流れになると思われる