No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
動点 v(t) の t における接線のパラメータ表示は、
v + (dv/dt)u ; u がパラメータ。実数値をとる
です。接線の定義どおりです。
これを成分ごとに書くと、
x = (t cos t) + (cos t - t sin t)u,
y = (t sin t) + (sin t + t cos t)u.
ここから u を消去すれば、接線の方程式表示になります。
(sin t + t cos t)x - (cos t - t sin t)y = t^2
です。
(2)
(1) を使って Pn, P(n+2) における接線を書き下すと、
連立一次方程式
(nπ)x - y = (nπ)^2,
(nπ+2π)x - y = (nπ+2π)^2
を解く問題となります。
x = 2(n+1)π,
y = n(n+1)π^2
です。
(3)
(2) の答えから n を消去すれば、
交点が満たす等式が得られます。
y = (x/2)(x/2 - π).
です。放物線になっていますね。
No.3
- 回答日時:
あ、かぶった。
(2) は、A No.2 にミスあり。
A No.1 の言うとおりで、
x = 2(n+1)π,
y = n(n+2)π^2
ですね。
すると、(3) は、両方間違っていて、
y = (1/4)x^2 - π^2
です。
No.1
- 回答日時:
(1)
dx/dt=cost-tsint, dy/dt=sint+tcost
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=(sint+tcost)/(cost-tsint)
点(tcost.tsint)における接線の方程式:
y-tsint=[( sint+tcost)/(cost-tsint)](x-tcost)
整理して
y=[(sint+tcost)x-t^2]/(cost-tsint)
(2)
Pnではt=nπ=2mπ、(x,y)=(2mπ,0),傾き=[(sint+tcost)/(cost-tsint)]=2mπ
接線 y=2mπ(x-2mπ)
Pn+2ではt=(n+2)π=2(m+1)π、(x,y)=(2(m+1)π,0),傾き=[(sint+tcost)/(cost-tsint)]
=2(m+1)π
接線 y=2(m+1)π(x-2(m+1)π)
交点Qでは
2mπ(x-2mπ)=2(m+1)π(x-2(m+1)π)
x=2(2m+1)π, y=4π^2m(m+1)
nに戻して
Q(2(n+1)π, n(n+2)π^2)
(3)
X=2(n+1)π, Y= n(n+2)π^2
からnを消去する。
Y=X^2-4π^2
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