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放物線y^2-4px (1)上の1点(x1、y1)における接線の式はy1y=2p(x1+x)
(ただしy1^2=4px1) (2)
{導き方}y1≠0のとき、曲線上の点(x1、y1)を通る直線は、傾きをmとして
y=m(x-x1)+y1 (3)
とあらわれる。ただし(x1、y1)は(1)上の点であるから y1^2=4px1 (4)
ここで(1)と(3)の共有点のx座標が満たす方程式を作ると
m^2x^2-2{m(mx1-y1)+2p}x+(mx1-y1)^2=0
よって、(3)y=m(x-x1)+y1は(1)放物線y^2=4pxの接線であるから、この方程式の判別式は0であり、その時の重複解がx1である。よって
x1=m(mx1-y)+2p±√0 / m^2
(この分数が出来ません>_<!!)
これからm=2p/y1 これを(3)y=m(x-x1+y1
に当てはめて、y=(2p/y1)(x-x1)+y1
∴y1y=2p(x-x1)+y1^2
ここへ、(4)y1^2-4px1を用いればよい
y1=0の時は接線は直線x=0であり、(2)の特別な場合である。
質問です!!
一つ目は、放物線のy^2=4px(1)に直線y=m(x-x1)+y1(3)の式を代入した後に出来た長い式から、x1=。。。 とm^2が分母になっている長い分数の式にする方法がわかりません>_<教科書では省いているので、自分で頑張っても出来ません>_<誰か教えてください!!
二つ目の質問は、mの値が求まって、直線の式(3)に当てはめた後、y1y=2p(x-x1)+y1^2と得られたまでは解ったのですけど、そのあと、「ここへ(4)を用いればよい」っていう部分が良くわかりません>_< (4)を用いれば何が良いのですか!?>_<???
そしたら、「y1=0の時は接線は直線x=0であり、(2)の特別な場合である」って書いてあるんですけど、意味が解りません>_<?????????
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>放物線y^2-4px (1)
「放物線y^2-4px=0 (1)」 のまちがいです。
>m^2x^2-2{m(mx1-y1)+2p}x+(mx1-y1)^2=0 (5)
この式を(5)とします。式の意味を考えます。この式は、(3)を(1)に代入して作りました。だから、(3)と(1)の交点を表わします。また、代入でyが消去されました。ですから、交点のx座標だけを表わす方程式です。
放物線と直線の交点は最大2個あります。(5)に実数解が2個あれば、交点は2個あります。
しかし、直線が放物線の接線になるときは、2つの交点が一致しなければなりません。つまり、接線の場合、(5)の解は重解でなければなりません。
(5)の解のうちの1つは x1 です。これは簡単に確かめられます。ですから、もう一つの解がx1になれば、直線(3)は放物線(1)の接線です。
>この方程式の判別式は0であり
重解となるためには、(5)の判別式が0であることが必要十分です。
判別式とは、二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)に対して、D = b^2 - 4ac です。
ところが、(5)の判別式を求めようとすると、非常に複雑な式になります。
しかし、この場合、解の1つがx1であることがわかっているので、つぎのようにします。
------------------------------
まず、二次方程式の解の公式
ax^2 + bx + c = 0 (a≠0)に対して x = { -b ± √(b^2 - 4ac)}/ (2a)
を思い出してください。ここで、解の1つが x = s だとしましょう。もし、判別式b^2 - 4acが0であれば、上の解の公式は、
s = (-b ± √0)/(2a) つまり、s = -b/(2a)
となります。逆に、s = -b/(2a)が成立したとしましょう。すると、上の解の公式から、
-b/(2a) = { -b ± √(b^2 - 4ac)}/ (2a)
a≠0 ですから、-b = -b ± √(b^2 - 4ac)、つまりb^2 - 4ac = 0 が示せます。
--------------------------------
上のことを、(5)に適用しましょう。まず、
a = m^2
b = -2{m(mx1-y1)+2p}
です。
解の1つがx1であることがわかっているので、
x1= -b/(2a) ⇔ (5)は重解を持つ
つまり、
x1= {m(mx1-y1)+2p}/(m^2) ⇔ (5)は重解を持つ
となります。
>x1=m(mx1-y)+2p±√0 / m^2
>(この分数が出来ません>_<!!)
上に書いたことからわかるように、式中のyはy1のまちがいです。
>∴y1y=2p(x-x1)+y1^2
>ここへ、(4)y1^2-4px1を用いればよい
>(4)を用いれば何が良いのですか
「(4)y1^2-4px1=0」のまちがいです。
y1^2=4px1 ですから、右辺のy1^2を4px1で置き換えます。
すると、
y1y=2p(x-x1)+4px1
⇔y1y=2p(x+x1)
となります。
>y1=0の時は接線は直線x=0であり、(2)の特別な場合である
y1=0だとすると、mの値が求められなくなるので、最初にy1=0を除外して解いたのです。
あとで、y1=0の場合を考えます。
放物線(1)は原点を通り、原点でy軸に接しているので、y1=0のときには、接点は原点(x1=0、y1=0)で、接線はy軸そのものです。y軸上ではどこでもx=0です。
y1=0を除外してもとめた接線の方程式
y1y=2p(x+x1)
にx1=0、y1=0、x=0を代入すると0=0となって成立します。つまり、y1=0を除外してもとめた接線の方程式が、y1=0のときにも成立することを確かめたわけです。
No.4
- 回答日時:
最後の部分の補足です。
分母に入っているため、y1が0でないときと、0であるときで場合分けが必要であるというのは大丈夫でしょうか?0を割ることはできても、0で割ることは出来ません。よって分母に0が入ることはありえません。これからも、変数が分母に入ったとき、分母の変数が0でないということがはっきりしているとき(条件から明らかな場合など)以外は場合分けをしてください。No.3
- 回答日時:
一つ目の質問の答えは、これは解の公式を用いてX1を出しているのです。
解の公式はいけるでしょうか?ax^2+bx+c=0の解はx={-b±√(b^2-4ac)}/2aです。特にbが2の倍数のとき、x={-b"±√(b"^2-ac)}/aただしb"=b/2とする。今は2の倍数となっているので後者を使っています。b^2-4acは判別式D、b"^2-acはD/4に対応するので0です。
二つ目の質問の答えのは、(x1、y1)は(1)上の点であるから y1^2=4px1 (4)という式が成り立ちました。そこにx1、y1で表された式を代入しているのです。最後のところは、微分をしたときにyが分母に入っているため、y1が0でないときと、0であるときで場合分けが必要なのです。
No.2
- 回答日時:
>1つ目
>x1=。。。 とm^2が分母になっている長い分数の式にする方法がわかりません>_<
>x1=m(mx1-y)+2p±√0 / m^2
単に2次方程式の重根の場合の根の公式そのものですね。
x1={m(mx1-y1)+2p}/m^2 のミスですね。
>(この分数が出来ません>_<!!)
この分数の意味が分かりません。
何ができないのですか?
>これからm=2p/y1
この式を導出できないということですか?
そうなら、
x1・m^2={m(mx1-y1)+2p}
0=-my1+2p
から出てくると思いますが?
>二つ目
>(4)を用いれば何が良いのですか!?>_<?
>y1y=2p(x-x1)+y1^2
この式の最後の項に(4)を代入すれば
>接線の式はy1y=2p(x1+x)
が導出できるということです。
>「y1=0の時は接線は直線x=0であり、(2)の特別な場合である」って書いてあるんですけど、意味が解りません>_<?
(3)式はm=無限大の場合、つまりx=Kというy軸に平行な直線を表せませんので、x=Kが接線となる場合(K=0)を考えていませんのでx=0の接線の場合も解に含めないといけないという意味ですね。
これは(2)式に含めれられるということです。
(2)の接線の式
y1y=2p(x1+x)
で接点の座標(x1,y1)=(0,0)を代入すれば
接線の式はx=0となりますよ。
”式はm=無限大の場合”のところの説明ありがとうございました!!数学は色々な考え方があって、また色々な回答に導くための見方があるので、すごく今回実感しました。私もいつか、こんな風に数学の質問をされて、答えられるような大人になりたいと思いました!!!!!いつも、返事書いてくれて、ありがとうございすます!!
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