写真の問題についてですが、なぜxの2次方程式(k²+1)x²…=0が重解を持つ時のkの値が接線の傾き

写真の問題についてですが、なぜxの2次方程式(k²+1)x²…=0が重解を持つ時のkの値が接線の傾きになるのですか？xが異なる2つの解を持つ場合などでは、kの値は何を表すのですか？
(説明が上手くできず、すみません。)

写真のURL: https://dotup.org/uploda/dotup.org2964102.pdf_Oo …

質問箇所は赤丸部分です。

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/28 11:00

円

(x-2)^2+(y-5)^2=25…(C)
と
直線
y=k(x+8)…(L)
の
交点を
(x,y)
とする
(C)のyに(L)を代入すると
(x-2)^2+{k(x+8)-5}^2=25
x^2-4x+4+(kx+8k-5)^2=25
x^2-4x+k^2x^2+2k(8k-5)x+(8k-5)^2+4=25

(1+k^2)x^2+(16k^2-10k-4)x+64k^2-80k+4=0

xは交点のx座標だから
この2次方程式は
交点のx座標xの2次方程式だから
交点のx座標xの2次方程式が重解を持つという事は
交点のx座標xがただ1つに定まるという事で
交点のx座標xがただ1つに定まれば
交点のy座標yもy=k(kx+8)と1つに定まるから

図のように円と直線は1点(x,y)で交わる

円と直線は1点(x,y)で交わるときは
円と直線は1点(x,y)で接するときだから
直線
y=k(x+8)は
円(x-2)^2+(y-5)^2=25
の接線になる
接線
y=k(x+8)
の傾きは
k
だから
kの値が接線の傾きになる

xが異なる2つの解を持つ場合は
円と直線は2点で交わるから
直線は接線ではないから
kは接線でない直線の傾きを表す

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2023/04/03 16:21

ｘが異なる２つの解を持つとは　幾何的には　円の内部にこの直線が存在するという意味になり　ｋの値はｙ＝ｋ（X+8)の傾きと設定しましたから

ｋの値は　０から円と接する直線の傾きまで変化します！
０＜ｋ＜円と接する直線の傾き　となります！

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/04/03 16:14

座標変換して　新たにXY座標を考えると　円の中心は

旧座標（2,5）→新座標【0,5】になりますね　また
旧座標で円とｙ＝ｋ（ｘ＋8）の交点を原点とすれば
新座標での円の方程式は中心が【0,5】で半径が５なので
（ｘ-2）＾２＋（ｙ-5）＾２＝25　
から　X＾２＋（Y-5)＾２＝25　...（30）
となりますから
旧座標のｙ＝K(x+8)　は新座標のX軸つまりY=0になりますから
（30）のYに0を代入すればX＾2＝0となり
Xは0という値で重解を持つことになり
それは　幾何的に接していることになりますね！

ｘが異なる２つの解を持つとは　幾何的には　円の内部にこの直線が存在するという意味になります！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2023/04/03 15:27

No3さんの図を見てください

接線　ｙ＝K(x＋8）....（10）
以外にもう一つありますね　それは
ｘ軸つまり　Y=0ですね　その点（2,0）で接しています。
それを求めるときは
円　（Ｃ）に　Y=0を代入して　（Ｘ－２）＾２-25-＝25　　...（20）
　から　Ｘ＝２
を求めますね　それと同じですね！この場合は　図から　Ｘ軸と接しているのがわかりますから　y=0と代入してＹを消してからＸの値を求めています
もう一つの接線はこのように簡単ではないし交点の座標もかわらないので
まず　Ｙを消すために　（10）を円の式に代入してＹを消してから
Ｘだけの２次式にしてから　（20）のように
接しているということは代数的にはＸの２次式の判別式が0になれば
重解ですからこのように求めています。
　理解できないならば　座標変換で考えてもらってもいいかと
つまり　解き方はこの場合は難しいのですが
新たに　XY座標を作りNo3さんの図からの赤い点を原点して
円の中心を【X,Y】＝【0,5】となるように座標変換してから
上記の方法で解くと考えてもらえればいいかと思います。
　尚　この問題は
2　点と直線の公式から解く方法　や
3　接線の傾きとこの接線の法線の傾きの積が１であることから解く方法　や
4（-8,0）と赤い点の交点までのベクトルと
円の中心（2,5）と赤い点の交点までのベクトルの内積の直交条件＝0
を利用して解く方法の4通り考えますが一番解きやすい方法がいいかと！
　問題によってどの方法が一番いいかは変わりますので　いろんな解き方をマスターされることがいいと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/28 10:37

ちゃんと最初から問題文をたどって行けば、それが

・演繹的に推論した結果
の話ではなくて、
・そもそも「接線の式の傾き」を求める
つまり
・傾き k の直線が円の接線となる条件
の話をしているのです。

何故といわれても、それが「接するための条件」ということなのです。

＞xが異なる2つの解を持つ場合など

それは「接点の座標」の話であって、「接線の傾き」とは関係ありません。


そもそも何をしようとしているのか、という議論の「論点」を把握できていないのではありませんか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/27 23:26

話の前提があるからこそ「xの2次方程式(k²+1)x²…=0が重解を持つ時のkの値が接線の傾きになる」といえるのだよ. それに気付

方程式(k²+1)x²…=0が重解を持つ」だけを切り出して考えたら, そりゃ意味不明になるってもんだ.